ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.135 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Один из корней уравнения \( x^2 — 8x + c = 0 \) на 6 меньше другого. Найдите значение \( c \) и корни уравнения.

Дано уравнение:
\(
x^2 — 8x + c = 0;
\)

\(
x_1 = x_2 — 6;
\)

По теореме Виета:
\(
x_1 + x_2 = 8;
\)

\(
x_2 — 6 + x_2 = 8;
\)

\(
2x_2 = 14;
\)

\(
x_2 = 7, \quad x_1 = 7 — 6 = 1;
\)

\(
c = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 7 = 7;
\)

Ответ:
\(
c = 7; \quad x_1 = 1; \quad x_2 = 7.
\)

Дано уравнение:
\(
x^2 — 8x + c = 0;
\)

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения. Из условия задачи известно, что один корень на 6 меньше другого, то есть:

\(
x_1 = x_2 — 6.
\)

По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выполняются следующие соотношения:

\(
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
\)

В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = -8 \), следовательно:

\(
x_1 + x_2 = 8.
\)

Подставим выражение для \( x_1 \):

\(
(x_2 — 6) + x_2 = 8.
\)

Упростим это уравнение:

\(
x_2 — 6 + x_2 = 8,
\)

что можно записать как:

\(
2x_2 — 6 = 8.
\)

Теперь добавим 6 к обеим сторонам уравнения:

\(
2x_2 = 14.
\)

Теперь разделим обе стороны на 2:

\(
x_2 = 7.
\)

Теперь найдем значение \( x_1 \):

\(
x_1 = x_2 — 6 = 7 — 6 = 1.
\)

Теперь мы можем найти значение \( c \). По теореме Виета также известно, что произведение корней равно:

\(
c = x_1 \cdot x_2.
\)

Подставим найденные значения корней:

\(
c = 1 \cdot 7 = 7.
\)

Ответ:
\(
c = 7; \quad x_1 = 1; \quad x_2 = 7.
\)