ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.136 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Корни \( x_1 \) и \( x_2 \) уравнения \( x^2 — 5x + m = 0 \) удовлетворяют условию \( 2x_1 — 3x_2 = 20 \). Найдите корни уравнения и значение \( m \).

Дано уравнение:
\(
x^2 — 5x + m = 0;
\)

\(
2x_1 — 3x_2 = 20;
\)

1) Из данного условия:
\(
2x_1 = 20 + 3x_2;
\)

\(
x_1 = 10 + \frac{3}{2} x_2;
\)

2) По теореме Виета:
\(
x_1 + x_2 = 5;
\)

\(
10 + \frac{3}{2} x_2 + x_2 = 5;
\)

\(
20 + 3x_2 + 2x_2 = 10;
\)

\(
5x_2 = -10;
\)

\(
x_2 = -2, \quad x_1 = 10 — 3 = 7;
\)

\(
m = x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot (-2) = -14;
\)

Ответ:
\(
m = -14; \quad x_1 = 7; \quad x_2 = -2.
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)

\(
\frac{(x — 1)(x — 9)}{(x + 3)(x + 1)} > 0;
\)

\(
x < -3, \quad -1 < x < 1, \quad x > 9;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (9; +\infty).
\)

4)
\(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 81} \leq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)

\(
\frac{(x + 3)(x — 4)}{(x + 9)(x — 9)} \leq 0;
\)

\(
-9 < x \leq -3, \quad 4 \leq x < 9;
\)

Ответ:
\(
(-9; -3] \cup [4; 9).
\)

Дано уравнение:
\(
x^2 — 5x + m = 0;
\)

Также дано условие:
\(
2x_1 — 3x_2 = 20.
\)

1) Из данного условия выразим \( x_1 \):
\(
2x_1 = 20 + 3x_2.
\)

Теперь разделим обе стороны на 2:
\(
x_1 = 10 + \frac{3}{2} x_2.
\)

2) По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выполняются следующие соотношения:
\(
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
\)

В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = -5 \), следовательно:
\(
x_1 + x_2 = 5.
\)

Подставим выражение для \( x_1 \) в это уравнение:
\(
10 + \frac{3}{2} x_2 + x_2 = 5.
\)

Сложим \( \frac{3}{2} x_2 \) и \( x_2 \):
\(
10 + \frac{3}{2} x_2 + \frac{2}{2} x_2 = 5.
\)

Это можно записать как:
\(
10 + \frac{5}{2} x_2 = 5.
\)

Теперь вычтем 10 из обеих сторон:
\(
\frac{5}{2} x_2 = 5 — 10,
\)

что упрощается до:
\(
\frac{5}{2} x_2 = -5.
\)

Теперь умножим обе стороны на \( \frac{2}{5} \):
\(
x_2 = -2.
\)

Теперь подставим найденное значение \( x_2 \) в выражение для \( x_1 \):
\(
x_1 = 10 + \frac{3}{2}(-2).
\)

Раскроем скобки:
\(
x_1 = 10 — 3 = 7.
\)

Теперь найдем значение \( m \). По теореме Виета также известно, что произведение корней равно:
\(
m = x_1 \cdot x_2.
\)

Подставим найденные значения корней:
\(
m = 7 \cdot (-2) = -14.
\)

Ответ:
\(
m = -14; \quad x_1 = 7; \quad x_2 = -2.
\)

Теперь рассмотрим следующую задачу:

Дано неравенство:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1.
\)

Теперь рассмотрим неравенство:
\(
\frac{(x — 1)(x — 9)}{(x + 3)(x + 1)} > 0.
\)

Для решения этого неравенства определим промежутки, где дробь положительна. Корни числителя: \( x — 1 = 0 \) и \( x — 9 = 0 \) дают \( x = 1 \) и \( x = 9 \). Корни знаменателя: \( x + 3 = 0 \) и \( x + 1 = 0 \) дают \( x = -3 \) и \( x = -1 \).

Теперь определим знаки на интервалах:
— Для \( x < -3 \): знак положительный.
— Для \( -3 < x < -1 \): знак отрицательный.
— Для \( -1 < x < 1 \): знак положительный.
— Для \( 1 < x < 9 \): знак отрицательный.
— Для \( x > 9 \): знак положительный.

Таким образом, решение неравенства:
\(
x < -3, \quad -1 < x < 1, \quad x > 9.
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (9; +\infty).
\)

Теперь рассмотрим четвертое неравенство:

Дано неравенство:
\(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 81} \leq 0;
\)

Сначала найдем дискриминант для числителя:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:}
\)

Теперь найдем корни числителя:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4.
\)

Теперь найдем корни знаменателя:
\(
x^2 — 81 = (x + 9)(x — 9).
\)

Корни знаменателя: \( x + 9 = 0 \) и \( x — 9 = 0 \) дают \( x = -9 \) и \( x = 9 \).

Теперь рассмотрим неравенство:
\(
\frac{(x + 3)(x — 4)}{(x + 9)(x — 9)} \leq 0.
\)

Определим знаки на интервалах, образованных корнями:
— Для \( x < -9 \): знак положительный.
— Для \( -9 < x < -3 \): знак отрицательный.
— Для \( -3 < x < 4 \): знак положительный.
— Для \( 4 < x < 9 \): знак отрицательный.
— Для \( x > 9 \): знак положительный.

Таким образом, решение неравенства:
\(
-9 < x \leq -3, \quad 4 \leq x < 9.
\)

Ответ:
\(
(-9; -3] \cup [4; 9).
\)