ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.138 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения \( x^2 + 7x — 4 = 0 \).

Дано уравнение:
\(
x^2 + 7x — 4 = 0;
\)

1) По теореме Виета:
\(
x_1 + x_2 = -7;
\)
\(
x_1 \cdot x_2 = -4;
\)

2) Каждый из корней на 2 больше:
\(
y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2);
\)
\(
y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 4;
\)
\(
y_1 + y_2 = -7 + 4 = -3;
\)
\(
y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2);
\)
\(
y_1 \cdot y_2 = x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4;
\)
\(
y_1 \cdot y_2 = -4 + 2 \cdot (-7) + 4 = -14;
\)

Ответ:
\(
x^2 + 3x — 14 = 0.
\)

Дано уравнение:
\(
x^2 + 7x — 4 = 0;
\)

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \) этого уравнения выполняются следующие соотношения:

1) Сумма корней:
\(
x_1 + x_2 = -b/a = -7,
\)

где \( b = 7 \) и \( a = 1 \).

Произведение корней:
\(
x_1 \cdot x_2 = c/a = -4,
\)

где \( c = -4 \).

Теперь, поскольку каждый из корней на 2 больше, обозначим новые корни как \( y_1 \) и \( y_2 \):
\(
y_1 = x_1 + 2,
\)
\(
y_2 = x_2 + 2.
\)

Теперь найдем сумму новых корней:
\(
y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2).
\)

Это можно упростить до:
\(
y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 4.
\)

Подставим значение суммы корней \( x_1 + x_2 \):
\(
y_1 + y_2 = -7 + 4 = -3.
\)

Теперь найдем произведение новых корней:
\(
y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2).
\)

Раскроем скобки:
\(
y_1 \cdot y_2 = x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4.
\)

Подставим значения \( x_1 x_2 \) и \( x_1 + x_2 \):
\(
y_1 \cdot y_2 = -4 + 2 \cdot (-7) + 4.
\)

Теперь вычислим:
\(
y_1 \cdot y_2 = -4 — 14 + 4 = -14.
\)

Таким образом, для новых корней \( y_1 \) и \( y_2 \) мы имеем:

Сумма корней:
\(
y_1 + y_2 = -3,
\)

Произведение корней:
\(
y_1 \cdot y_2 = -14.
\)

Теперь можем составить квадратное уравнение с корнями \( y_1 \) и \( y_2 \):

\(
z^2 — (y_1 + y_2) z + (y_1 \cdot y_2) = 0.
\)

Подставим найденные значения:

\(
z^2 — (-3)z — 14 = 0,
\)

что упрощается до:

\(
z^2 + 3z — 14 = 0.
\)

Ответ:
\(
x^2 + 3x — 14 = 0.
\)