ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.139 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения \( 2x^2 — 8x + 3 = 0 \).

Дано уравнение:
\(
2x^2 — 8x + 3 = 0;
\)

1) По теореме Виета:
\(
x_1 + x_2 = -\frac{-8}{2} = 4;
\)
\(
x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} = 1{,}5;
\)

2) Каждый из корней втрое меньше:
\(
y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{4}{3} = \frac{8}{6};
\)
\(
y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 x_2}{9} = \frac{1{,}5}{9} = \frac{0{,}5}{3} = \frac{1}{6};
\)

Ответ:
\(
6x^2 — 8x + 1 = 0.
\)

Дано уравнение:
\(
2x^2 — 8x + 3 = 0;
\)

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \) этого уравнения выполняются следующие соотношения:

1) Сумма корней:
\(
x_1 + x_2 = -\frac{-8}{2} = 4,
\)

где \( -8 \) — это коэффициент при \( x \), а \( 2 \) — коэффициент при \( x^2 \).

Произведение корней:
\(
x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} = 1{,}5,
\)

где \( 3 \) — это свободный член, а \( 2 \) — коэффициент при \( x^2 \).

Теперь, поскольку каждый из корней втрое меньше, обозначим новые корни как \( y_1 \) и \( y_2 \):
\(
y_1 = \frac{x_1}{3},
\)
\(
y_2 = \frac{x_2}{3}.
\)

Теперь найдем сумму новых корней:
\(
y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3}.
\)

Подставим значение суммы корней \( x_1 + x_2 \):
\(
y_1 + y_2 = \frac{4}{3} = \frac{8}{6}.
\)

Теперь найдем произведение новых корней:
\(
y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 x_2}{9}.
\)

Подставим значение произведения корней \( x_1 x_2 \):
\(
y_1 \cdot y_2 = \frac{1{,}5}{9} = \frac{0{,}5}{3} = \frac{1}{6}.
\)

Теперь мы можем составить квадратное уравнение с новыми корнями \( y_1 \) и \( y_2 \). Уравнение имеет вид:
\(
z^2 — (y_1 + y_2)z + y_1 \cdot y_2 = 0.
\)

Подставим найденные значения:
\(
z^2 — \left(\frac{4}{3}\right)z + \frac{1}{6} = 0.
\)

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 6:
\(
6z^2 — 8z + 1 = 0.
\)

Таким образом, ответ:
\(
6x^2 — 8x + 1 = 0.
\)