ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Натуральные числа \( a \) и \( b \) таковы, что:
\(
a \text{ — чётное число,} \quad b \text{ — нечётное число.}
\)

Необходимо определить, значение какого из следующих выражений обязательно является чётным числом:

1. \( a^2 + 3 \)
2. \( b(a + b) \)
3. \( \frac{ab}{2} \)
4. \( \frac{a^2}{2} \)

Даны натуральные числа:
\(a\) — чётное число;
\(b\) — нечётное число;

1) \(a^2 + 3\);
\(a^2\) — чётное число;
\(a^2 + 3\) — нечётное число;

2) \(b(a + b)\);
\(a + b\) — нечётное число;
\(b(a + b)\) — нечётное число;

3) \(\frac{ab}{2}\);
\(ab\) — чётное число;
\(\frac{ab}{2}\) — любое число;

4) \(\frac{a^2}{2}\);
\(a^2\) — кратно четырём;
\(a^2\) — чётное число;

Ответ: \(\frac{a^2}{2}\).

Условие: даны натуральные числа \( a \) и \( b \), где:
\(
a \text{ — чётное число}, \quad b \text{ — нечётное число}.
\)
Необходимо определить, значение какого из выражений обязательно является чётным числом.

Рассмотрим каждое выражение:

1) \( a^2 + 3 \)

Так как \( a \) — чётное число, его квадрат \( a^2 \) также является чётным числом:
\(
a^2 \text{ — чётное число}.
\)
При сложении чётного числа \( a^2 \) с нечётным числом \( 3 \), результат будет нечётным:
\(
a^2 + 3 \text{ — нечётное число}.
\)

2) \( b(a + b) \)

Сумма \( a + b \) состоит из чётного числа \( a \) и нечётного числа \( b \). Сложение чётного и нечётного числа даёт нечётное число:
\(
a + b \text{ — нечётное число}.
\)
Произведение нечётного числа \( b \) на нечётное число \( a + b \) также будет нечётным:
\(
b(a + b) \text{ — нечётное число}.
\)

3) \( \frac{ab}{2} \)

Произведение \( ab \) состоит из чётного числа \( a \) и нечётного числа \( b \). Произведение чётного и нечётного числа даёт чётное число:
\(
ab \text{ — чётное число}.
\)
Однако деление чётного числа \( ab \) на \( 2 \) может дать как целое число (если \( ab \) кратно \( 4 \)), так и дробное число (если \( ab \) не кратно \( 4 \)). Таким образом:
\(
\frac{ab}{2} \text{ — любое число}.
\)

4) \( \frac{a^2}{2} \)

Квадрат чётного числа \( a^2 \) всегда кратен \( 4 \), так как:
\(
a^2 = (2k)^2 = 4k^2, \quad k \in \mathbb{N}.
\)
Таким образом, деление \( a^2 \) на \( 2 \) всегда даёт целое чётное число:
\(
\frac{a^2}{2} \text{ — чётное число}.
\)

Ответ:
\(
\frac{a^2}{2}.
\)