ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.140 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) система уравнений:
1) \(\begin{cases} 4x + 7y = 5 \\ 4x + 7y = a \end{cases}\) не имеет решений;
2) \(\begin{cases} 5x + ay = 6 \\ 20x — 16y = 24 \end{cases}\) имеет бесконечно много решений;
3) \(\begin{cases} ax + 2y = 8 \\ 7x — 4y = -18 \end{cases}\) имеет единственное решение?

Найти все значения \( a \):

1)
\(
\begin{cases}
4x + 7y = 5 \\
4x + 7y = a
\end{cases}
\)

Не имеет решений:
\(
a \neq 5;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; 5) \cup (5; +\infty).
\)

2)
\(
\begin{cases}
5x + ay = 6 \\
20x — 16y = 24
\end{cases}
\)

Бесконечно много решений:
\(
\frac{a}{-16} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4};
\)

Отсюда:
\(
a = -16 \cdot \frac{1}{4} = -4;
\)

Ответ:
\(
\{-4\}.
\)

3)
\(
\begin{cases}
ax + 2y = 8 \\
7x — 4y = -18
\end{cases}
\)

Единственное решение:
\(
a \neq \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 4} = -3{,}5;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3{,}5) \cup (-3{,}5; +\infty).
\)

Найти все значения \( a \):

1) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
4x + 7y = 5 \\
4x + 7y = a
\end{cases}
\)

Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы уравнения были параллельны, то есть имели одинаковые коэффициенты при \( x \) и \( y \), но разные свободные члены. Это происходит, когда:
\(
a \neq 5.
\)

Таким образом, ответ будет:
\(
(-\infty; 5) \cup (5; +\infty).
\)

2) Рассмотрим следующую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
5x + ay = 6 \\
20x — 16y = 24
\end{cases}
\)

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны. Это значит, что коэффициенты при \( x \), \( y \) и свободные члены должны быть пропорциональны. Мы можем записать это как:
\(
\frac{a}{-16} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}.
\)

Из этого равенства мы можем найти \( a \):
\(
a = -16 \cdot \frac{1}{4} = -4.
\)

Таким образом, ответ будет:
\(
\{-4\}.
\)

3) Рассмотрим последнюю систему уравнений:
\(
\begin{cases}
ax + 2y = 8 \\
7x — 4y = -18
\end{cases}
\)

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы коэффициенты при \( x \) и \( y \) не были пропорциональны. Это можно выразить как:
\(
a \neq \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 4} = -3{,}5.
\)

Таким образом, ответ будет:
\(
(-\infty; -3{,}5) \cup (-3{,}5; +\infty).
\)