ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.141 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений, используя теорему, обратную теореме Виета:
1) \(\begin{cases} x + y = -4 \\ xy = 3 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} x^5 y = 32 \\ x^5 + y = 33 \end{cases}\).

1)
\(
\begin{cases}
x + y = -4 \\
xy = 3
\end{cases}
\)

Корни уравнения:
\(
x^2 + 4x + 3 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)

Ответ:
\(
(-3; -1), \quad (-1; -3).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^5 y = 32 \\
x^5 + y = 33
\end{cases}
\)

Корни уравнения:
\(
x^2 — 33x + 32 = 0;
\)

\(
D = 33^2 — 4 \cdot 32 = 1089 — 128 = 961,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{33 — 31}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{33 + 31}{2} = 32;
\)

\(
\sqrt[5]{x_1} = \sqrt[5]{1} = 1, \quad \sqrt[5]{x_2} = \sqrt[5]{32} = 2;
\)

Ответ:
\(
(1; 32), \quad (2; 1).
\)

1) Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x + y = -4 \\
xy = 3
\end{cases}
\)

Из первого уравнения выразим \( y \):
\(
y = -4 — x.
\)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\(
x(-4 — x) = 3.
\)

Раскроем скобки:
\(
-x^2 — 4x = 3.
\)

Переносим все члены на одну сторону:
\(
-x^2 — 4x — 3 = 0.
\)

Умножим уравнение на \(-1\):
\(
x^2 + 4x + 3 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):
\(
D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 — 2}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2} = -1.
\)

Таким образом, получаем:
Ответ:
\(
(-3; -1), \quad (-1; -3).
\)

2) Рассмотрим следующую систему:
\(
\begin{cases}
x^5 y = 32 \\
x^5 + y = 33
\end{cases}
\)

Из второго уравнения выразим \( y \):
\(
y = 33 — x^5.
\)

Подставим это значение в первое уравнение:
\(
x^5 (33 — x^5) = 32.
\)

Раскроем скобки:
\(
33x^5 — (x^5)^2 = 32.
\)

Переносим все члены на одну сторону:
\(
(x^5)^2 — 33x^5 + 32 = 0.
\)

Обозначим \( z = x^5 \). Тогда уравнение принимает вид:
\(
z^2 — 33z + 32 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):
\(
D = (-33)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 1089 — 128 = 961.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:
\(
z_1 = \frac{33 — \sqrt{961}}{2} = \frac{33 — 31}{2} = 1,
\)
\(
z_2 = \frac{33 + \sqrt{961}}{2} = \frac{33 + 31}{2} = 32.
\)

Теперь вернемся к переменной \( x \):
\(
x_1 = \sqrt[5]{z_1} = \sqrt[5]{1} = 1,
\)
\(
x_2 = \sqrt[5]{z_2} = \sqrt[5]{32} = 2.
\)

Таким образом, получаем:
Ответ:
\(
(1; 32), \quad (2; 1).
\)