ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.142 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\ x — y = 2 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} 9x^2 — 6xy + y^2 = 9 \\ 2x^2 + 2xy — y^2 = 11 \end{cases}\);
3) \(\begin{cases} x^2 — xy = -6 \\ y^2 — xy = 22 \end{cases}\);
4) \(\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 18 \\ 3x^2 — 2y^2 = 12 \end{cases}\);
5) \(\begin{cases} xy — y = -12 \\ 5x — xy = 1 \end{cases}\);
6) \(\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 8 \\ xy = 2 \end{cases}\).

1)
\(
\begin{cases}
x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\
x — y = 2
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
y = x — 2;
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 + 2x(x — 2) + (x — 2)^2 = 64;
\)

Раскрываем скобки и приводим:
\(
x^2 + 2x^2 — 4x + x^2 — 4x + 4 = 64;
\)

\(
4x^2 — 8x + 4 = 64;
\)

\(
4x^2 — 8x — 60 = 0;
\)

Делим на 4:
\(
x^2 — 2x — 15 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5;
\)

Находим \( y \):
\(
y_1 = -3 — 2 = -5, \quad y_2 = 5 — 2 = 3;
\)

Ответ:
\(
(-3; -5), \quad (5; 3).
\)

2)
\(
\begin{cases}
9x^2 — 6xy + y^2 = 9 \\
2x^2 + 2xy — y^2 = 11
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
(3x — y)^2 = 9;
\)

Отсюда:
\(
3x — y = \pm 3;
\)

\(
y_1 = 3x — 3, \quad y_2 = 3x + 3;
\)

\(
2x^2 + 2x(3x \pm 3) — (3x \pm 3)^2 = 11;
\)

\(
2x^2 + 6x^2 \pm 6x — 9x^2 \pm 18x — 9 = 11;
\)

\(
x^2 \pm 12x + 20 = 0;
\)

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 20 = 144 — 80 = 64,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-12 — 8}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-12 + 8}{2} = -2;
\)

\(
y_1 = -30 + 3 = -27, \quad y_2 = -6 + 3 = -3;
\)

\(
x_3 = \frac{12 — 8}{2} = 2, \quad x_4 = \frac{12 + 8}{2} = 10;
\)

\(
y_3 = 6 — 3 = 3, \quad y_4 = 30 — 3 = 27;
\)

Ответ:
\(
(-10; -27), \quad (-2; -3), \quad (2; 3), \quad (10; 27).
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 — xy = -6 \\
y^2 — xy = 22
\end{cases}
\)

Сумма уравнений:
\(
x^2 — 2xy + y^2 = 16;
\)

\(
(x — y)^2 = 16;
\)

\(
x — y = \pm 4;
\)

\(
y_1 = x — 4, \quad y_2 = x + 4;
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — x(x \pm 4) = -6;
\)

\(
x^2 — x^2 \mp 4x = -6;
\)

\(
\pm 4x = 6, \quad x = \pm 1.5;
\)

\(
y = \pm 1.5 \pm 4 = \pm 5.5;
\)

Ответ:
\(
(-1.5; -5.5), \quad (1.5; 5.5).
\)

4)
\(
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 18 \\
3x^2 — 2y^2 = 12
\end{cases}
\)

Сумма уравнений:
\(
6x^2 = 30;
\)

\(
x^2 = 5;
\)

\(
x = \pm \sqrt{5};
\)

Первое уравнение:
\(
3 \cdot 5 + 2y^2 = 18;
\)

\(
2y^2 = 3;
\)

\(
y^2 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4};
\)

\(
y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2};
\)

Ответ:
\(
\left(-\sqrt{5}; -\frac{\sqrt{6}}{2}\right), \quad \left(-\sqrt{5}; \frac{\sqrt{6}}{2}\right), \quad \left(\sqrt{5}; -\frac{\sqrt{6}}{2}\right), \quad \left(\sqrt{5}; \frac{\sqrt{6}}{2}\right).
\)

5)
\(
\begin{cases}
xy — y = -12 \\
5x — xy = 1
\end{cases}
\)

Сумма уравнений:
\(
5x — y = -11;
\)

\(
y = 5x + 11;
\)

Второе уравнение:
\(
5x — x(5x + 11) = 1;
\)

\(
5x — 5x^2 — 11x = 1;
\)

\(
-5x^2 — 6x = 1;
\)

или
\(
5x^2 + 6x + 1 = 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 — 4}{2 \cdot 5} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 4}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{5};
\)

\(
y_1 = -5 + 11 = 6 \quad \text{и} \quad y_2 = -1 + 11 = 10;
\)

Ответ:
\(
(-1; 6), \quad \left(-\frac{1}{5}; 10\right).
\)

6)
\(
\begin{cases}
x^2 + 4y^2 = 8 \\
xy = 2
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
y = \frac{2}{x};
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 + 4 \cdot \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 8;
\)

\(
x^2 + \frac{16}{x^2} = 8;
\)

\(
x^4 — 8x^2 + 16 = 0;
\)

\(
(x^2 — 4)^2 = 0;
\)

\(
x^2 = 4;
\)

\(
x = \pm 2;
\)

\(
y = \frac{2}{\pm 2} = \pm 1;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1), \quad (2; 1).
\)

1) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\
x — y = 2
\end{cases}
\)

Из второго уравнения выразим \( y \):
\(
y = x — 2.
\)

Теперь подставим это значение во первое уравнение:
\(
x^2 + 2x(x — 2) + (x — 2)^2 = 64.
\)

Раскроем скобки и приведем подобные:
\(
x^2 + 2x^2 — 4x + (x^2 — 4x + 4) = 64.
\)

Соберем все члены:
\(
x^2 + 2x^2 — 4x + x^2 — 4x + 4 = 64.
\)

Упрощаем:
\(
4x^2 — 8x + 4 = 64.
\)

Переносим все на одну сторону:
\(
4x^2 — 8x — 60 = 0.
\)

Делим уравнение на 4 для упрощения:
\(
x^2 — 2x — 15 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):
\(
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 — 8}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5.
\)

Теперь находим соответствующие значения \( y \):
\(
y_1 = -3 — 2 = -5,
\)
\(
y_2 = 5 — 2 = 3.
\)

Таким образом, ответ будет:
\(
(-3; -5), \quad (5; 3).
\)

2) Рассмотрим следующую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
9x^2 — 6xy + y^2 = 9 \\
2x^2 + 2xy — y^2 = 11
\end{cases}
\)

Из первого уравнения можно выразить \( y \):
\(
(3x — y)^2 = 9.
\)

Отсюда получаем два случая:
\(
3x — y = 3 \quad \text{или} \quad 3x — y = -3.
\)

Решим для каждого случая. Для первого случая:
\(
y_1 = 3x — 3.
\)

Для второго случая:
\(
y_2 = 3x + 3.
\)

Теперь подставим оба значения в второе уравнение. Начнем с первого случая:
\(
2x^2 + 2x(3x — 3) — (3x — 3)^2 = 11.
\)

Раскроем скобки:
\(
2x^2 + 6x^2 — 6x — (9x^2 — 18x + 9) = 11.
\)

Упрощаем:
\(
2x^2 + 6x^2 — 6x — 9x^2 + 18x — 9 = 11.
\)

Соберем все члены:
\(
-1x^2 + 12x — 9 = 11.
\)

Переносим все на одну сторону:
\(
-x^2 + 12x — 20 = 0.
\)

Умножим на \(-1\):
\(
x^2 — 12x + 20 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64.
\)

Находим корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{12 — \sqrt{64}}{2} = \frac{12 — 8}{2} = 2,
\)
\(
x_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10.
\)

Теперь находим соответствующие значения \( y \):
Для \( x_1 = 2 \):
\(
y_3 = 3(2) — 3 = 6 — 3 = 3.
\)

Для \( x_2 = 10 \):
\(
y_4 = 3(10) — 3 = 30 — 3 = 27.
\)

Теперь рассмотрим второй случай, подставляя \( y_2 \):
Подставляем \( y_2 = 3x + 3 \) во второе уравнение:
\(
2x^2 + 2x(3x + 3) — (3x + 3)^2 = 11.
\)

Раскроем скобки:
\(
2x^2 + (6x^2 + 6x) — (9x^2 + 18x + 9) = 11.
\)

Упрощаем:
\(
8x^2 — (9x^2 + 18x + 9) = 11,
\)

что приводит к:
\(
-1x^2 -12x -20=0,
\)

или:
\(
+x^2+12+20=0
.\)

Таким образом, мы получаем два случая для значений \( x \) и \( y \):
Ответ:
\(
(-10; -27), \quad (-2; -3), \quad (2; 3), \quad (10;27).
\)

3) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 — xy = -6 \\
y^2 — xy = 22
\end{cases}
\)

Сложим оба уравнения:
\(
x^2 — xy + y^2 — xy = -6 + 22.
\)

Это дает:
\(
x^2 — 2xy + y^2 = 16.
\)

Мы можем записать это как:
\(
(x — y)^2 = 16.
\)

Таким образом, получаем:
\(
x — y = \pm 4.
\)

Теперь выразим \( y \):
\(
y_1 = x — 4, \quad y_2 = x + 4.
\)

Теперь подставим эти значения в первое уравнение:
\(
x^2 — x(x \pm 4) = -6.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 — (x^2 \mp 4x) = -6.
\)

Это упрощается до:
\(
\pm 4x = 6.
\)

Отсюда находим \( x \):
\(
x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
Если \( x = \frac{3}{2} \), то:
\(
y = \frac{3}{2} — 4 = -\frac{5}{2}.
\)

Если \( x = -\frac{3}{2} \), то:
\(
y = -\frac{3}{2} + 4 = \frac{5}{2}.
\)

Таким образом, получаем ответы:
\(
(-1.5; -5.5), \quad (1.5; 5.5).
\)

4) Рассмотрим следующую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 18 \\
3x^2 — 2y^2 = 12
\end{cases}
\)

Сложим оба уравнения:
\(
(3x^2 + 2y^2) + (3x^2 — 2y^2) = 18 + 12.
\)

Это упрощается до:
\(
6x^2 = 30.
\)

Разделим обе стороны на 6:
\(
x^2 = 5.
\)

Теперь найдем \( x \):
\(
x = \pm \sqrt{5}.
\)

Теперь подставим значение \( x \) в первое уравнение:
\(
3 \cdot 5 + 2y^2 = 18.
\)

Это дает:
\(
15 + 2y^2 = 18.
\)

Переносим 15 на другую сторону:
\(
2y^2 = 3.
\)

Делим обе стороны на 2:
\(
y^2 = \frac{3}{2}.
\)

Теперь найдем \( y \):
\(
y = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}.
\)

Таким образом, получаем ответы:
\(
(-\sqrt{5}; -\frac{\sqrt{6}}{2}), \quad (-\sqrt{5}; \frac{\sqrt{6}}{2}), \quad (\sqrt{5}; -\frac{\sqrt{6}}{2}), \quad (\sqrt{5}; \frac{\sqrt{6}}{2}).
\)

5) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
xy — y = -12 \\
5x — xy = 1
\end{cases}
\)

Сложим оба уравнения:
\(
5x — y = -11.
\)

Из этого уравнения выразим \( y \):
\(
y = 5x + 11.
\)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\(
5x — x(5x + 11) = 1.
\)

Раскроем скобки:
\(
5x — 5x^2 — 11x = 1.
\)

Соберем все члены на одной стороне:
\(
-5x^2 — 6x = 1.
\)

Умножим уравнение на \(-1\):
\(
5x^2 + 6x + 1 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \( D \):
\(
D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \). Для \( x_1 = -1 \):
\(
y_1 = 5(-1) + 11 = -5 + 11 = 6.
\)

Для \( x_2 = -\frac{1}{5} \):
\(
y_2 = 5\left(-\frac{1}{5}\right) + 11 = -1 + 11 = 10.
\)

Таким образом, получаем ответы:
\(
(-1; 6), \quad \left(-\frac{1}{5}; 10\right).
\)

6) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + 4y^2 = 8 \\
xy = 2
\end{cases}
\)

Из второго уравнения выразим \( y \):
\(
y = \frac{2}{x}.
\)

Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\(
x^2 + 4 \cdot \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 8.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 + 4 \cdot \frac{4}{x^2} = 8.
\)

Умножим всё на \( x^2 \) для устранения дробей:
\(
x^4 + 16 = 8x^2.
\)

Переносим все члены на одну сторону:
\(
x^4 — 8x^2 + 16 = 0.
\)

Теперь сделаем замену \( z = x^2 \). Это преобразует уравнение в квадратное:
\(
z^2 — 8z + 16 = 0.
\)

Факторизуем:
\(
(z — 4)^2 = 0.
\)

Таким образом, получаем:
\(
z = 4,
\) что означает, что
\(
x^2 = 4.
\)

Теперь найдем \( x \):
\(
x = \pm 2.
\)

Теперь подставим значения \( x \) обратно в уравнение для нахождения \( y \):
Для \( x = 2 \):
\(
y = \frac{2}{2} = 1.
\)

Для \( x = -2 \):
\(
y = \frac{2}{-2} = -1.
\)

Таким образом, получаем ответы:
\(
(-2; -1), \quad (2; 1).
\)