ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.143 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} 2x^2 — 2xy + 2y^2 — 3x + 2y — 2 = 0 \\ x^2 — xy + y^2 — x — y = 0 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} 5x^2 — 3y^2 + 10x — 12y = 17 \\ 2x^2 + y^2 + 4x + 4y = -2 \end{cases}\).

1)
\(
\begin{cases}
2x^2 — 2xy + 2y^2 — 3x + 2y — 2 = 0, \\
x^2 — xy + y^2 — x — y = 0
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(
x^2 — xy + y^2 — 2x + 3y — 2 = 0;
\)

Снова вычтем второе:
\(
-x + 4y — 2 = 0;
\)

\(
x = 4y — 2;
\)

Второе уравнение:
\(
(4y — 2)^2 — y(4y — 2) + y^2 — (4y — 2) — y = 0;
\)

\(
16y^2 — 16y + 4 — 4y^2 + 2y + y^2 — 4y + 2 — y = 0;
\)

\(
13y^2 — 19y + 6 = 0;
\)

\(
D = 19^2 — 4 \cdot 13 \cdot 6 = 361 — 312 = 49,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{19 — 7}{2 \cdot 13} = \frac{12}{26} = \frac{6}{13} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{19 + 7}{2 \cdot 13} = 1;
\)

\(
x_1 = 4 \cdot \frac{6}{13} — 2 = \frac{24}{13} — 2 = \frac{24}{13} — \frac{26}{13} = -\frac{2}{13};
\)

\(
x_2 = 4 \cdot 1 — 2 = 4 — 2 = 2;
\)

Ответ:
\(
\left(-\frac{2}{13}; \frac{6}{13}\right); \quad (2; 1).
\)

2)
\(
\begin{cases}
5x^2 — 3y^2 + 10x — 12y = 17, \\
2x^2 + y^2 + 4x + 4y = -2;
\end{cases}
\)

Сумма уравнений:
\(
7x^2 — 2y^2 + 14x — 8y = 15;
\)

Снова прибавим второе:
\(
9x^2 — y^2 + 18x — 4y = 13;
\)

Снова прибавим второе:
\(
11x^2 + 22x = 11;
\)

\(
x^2 + 2x — 1 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8,
\)

тогда:
\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2};
\)

Второе уравнение:
\(
2(-1 \pm \sqrt{2})^2 + y^2 + 4(-1 \pm \sqrt{2}) + 4y = -2;
\)

Раскроем скобки:
\(
2(1 \pm 2\sqrt{2} + 2) + y^2 — 4(1 \pm \sqrt{2}) + 4y + 2 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
2 + 4\sqrt{2} + 4 + y^2 — 4 \mp 4\sqrt{2} + 4y + 2 = 0;
\)

Соберем все члены:
\(
y^2 + 4y + 4 = 0;
\)

Это можно записать как:
\(
(y + 2)^2 = 0;
\)

Отсюда:
\(
y = -2;
\)

Ответ:
\(
(-1 — \sqrt{2}; -2); \quad (-1 + \sqrt{2}; -2).
\)

1) Рассмотрим систему уравнений:

\(
\begin{cases}
2x^2 — 2xy + 2y^2 — 3x + 2y — 2 = 0, \\
x^2 — xy + y^2 — x — y = 0
\end{cases}
\)

Вычтем второе уравнение из первого:

\(
(2x^2 — 2xy + 2y^2 — 3x + 2y — 2) — (x^2 — xy + y^2 — x — y) = 0.
\)

Это дает:

\(
x^2 — xy + y^2 — 2x + 3y — 2 = 0.
\)

Теперь вычтем второе уравнение снова:

\(
-x + 4y — 2 = 0.
\)

Отсюда выразим \(x\):

\(
x = 4y — 2.
\)

Теперь подставим это значение в второе уравнение:

\(
(4y — 2)^2 — y(4y — 2) + y^2 — (4y — 2) — y = 0.
\)

Раскроем скобки:

\(
16y^2 — 16y + 4 — (4y^2 — 2y) + y^2 — (4y — 2) — y = 0.
\)

Упрощаем:

\(
16y^2 — 16y + 4 — 4y^2 + 2y + y^2 — 4y + 2 — y = 0.
\)

Соберем все подобные члены:

\(
(16y^2 — 4y^2 + y^2) + (-16y + 2y — 4y — y) + (4 + 2) = 0,
\)

что приводит к:

\(
13y^2 — 19y + 6 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = (-19)^2 — 4 \cdot 13 \cdot 6 = 361 — 312 = 49.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{19 — \sqrt{49}}{2 \cdot 13} = \frac{19 — 7}{26} = \frac{12}{26} = \frac{6}{13},
\)

и

\(
y_2 = \frac{19 + \sqrt{49}}{2 \cdot 13} = \frac{19 + 7}{26} = \frac{26}{26} = 1.
\)

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно, чтобы найти \(x\):

Для \(y_1 = \frac{6}{13}\):

\(
x_1 = 4 \cdot \frac{6}{13} — 2 = \frac{24}{13} — \frac{26}{13} = -\frac{2}{13}.
\)

Для \(y_2 = 1\):

\(
x_2 = 4 \cdot 1 — 2 = 4 — 2 = 2.
\)

Ответ:

\(
\left(-\frac{2}{13}; \frac{6}{13}\right); \quad (2; 1).
\)

2) Рассмотрим вторую систему уравнений:

\(
\begin{cases}
5x^2 — 3y^2 + 10x — 12y = 17, \\
2x^2 + y^2 + 4x + 4y = -2;
\end{cases}
\)

Сложим оба уравнения:

\(
(5x^2 — 3y^2 + 10x — 12y) + (2x^2 + y^2 + 4x + 4y) = 17 — 2.
\)

Это дает:

\(
7x^2 — 2y^2 + 14x — 8y = 15.
\)

Теперь снова прибавим второе уравнение:

\(
9x^2 — y^2 + 18x — 4y = 13.
\)

Снова прибавим второе уравнение:

\(
11x^2 + 22x = 11.
\)

Теперь упростим это уравнение:

\(
x^2 + 2x — 1 = 0.
\)

Найдем дискриминант \(D\):

\(
D = (2)^2 — 4 \cdot (1) \cdot (-1) = 4 + 4 = 8.
\)

Так как дискриминант положителен, найдем корни:

\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
\)

Теперь подставим найденные значения \(x\) во второе уравнение, чтобы найти \(y\):

Для \(x = -1 + \sqrt{2}\):

\(
2(-1 + \sqrt{2})^2 + y^2 + 4(-1 + \sqrt{2}) + 4y = -2.
\)

Раскроем скобки:

\(
= 2(1 — 2\sqrt{2} + 2) + y^2 — (4 — 4\sqrt{2}) + 4y = -2,
\)

что упрощается до:

\(
= (6 — 4) + y^2 + (4y) + (4\sqrt{2}) = -2,
\)

или

\(
y^2 + (4y) + (4) = 0.
\)

Это можно записать как:

\(
(y + 2)^2 = 0.
\)

Таким образом, получаем:

\(
y = -2.
\)

Ответ:

\(
(-1 — \sqrt{2}; -2); \quad (-1 + \sqrt{2}; -2).
\)