ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.144 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} x + y + xy = 4 \\ xy(x + y) = -21 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x — 3y = 10 \end{cases}\);
3) \(\begin{cases} \frac{3x + y}{x — y} — 3\frac{x — y}{3x + y} = -2 \\ x^2 + xy — y^2 = -20 \end{cases}\).

1)
\(
\begin{cases}
x + y + xy = 4, \\
xy(x + y) = -21;
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x + y = 4 — xy;
\)

Второе уравнение:
\(
xy(4 — xy) = -21;
\)

\(
4xy — (xy)^2 = -21;
\)

\(
(xy)^2 — 4xy — 21 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,
\)

тогда:
\(
xy_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad xy_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7;
\)

Первое значение:
\(
x — \frac{3}{x} + x \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = 4;
\)

\(
x — \frac{3}{x} — 7 = 0;
\)

\(
x^2 — 7x — 3 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 3 = 49 + 12 = 61,
\)

тогда:
\(
x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2};
\)

\(
y = \frac{6}{-7 \pm \sqrt{61}} = \frac{6(7 \pm \sqrt{61})}{(-7)^2 — (\sqrt{61})^2} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2};
\)

Второе значение:
\(
\frac{7}{x} + \frac{7}{x} = 4;
\)

\(
x + \frac{7}{x} + 3 = 0;
\)

\(
x^2 + 3x + 7 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 7 = 9 — 28 = -19;
\)

\(
D < 0, \text{значит } x \in \emptyset;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{7 — \sqrt{61}}{2}; \frac{7 + \sqrt{61}}{2}\right); \quad \left(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; \frac{7 — \sqrt{61}}{2}\right).
\)

2)
\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \\
2x — 3y = 10;
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}, \quad u = \frac{x}{y};
\)

\(
4u^2 — 15u — 4 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289,
\)

тогда:
\(
u_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4} \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = 4;
\)

\(
y_1 = -4x \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{x}{4};
\)

Первое значение:
\(
2x — 3 \cdot (-4x) = 10;
\)

\(
2x + 12x = 10;
\)

\(
14x = 10;
\)

\(
x = \frac{5}{7}, \quad y = -\frac{20}{7};
\)

Второе значение:
\(
2x — 3 \cdot \frac{x}{4} = 10;
\)

\(
8x — 3x = 40;
\)

\(
5x = 40;
\)

\(
x = 8, \quad y = 2;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{5}{7}; -\frac{20}{7}\right); \quad (8; 2).
\)

3)
\(
\begin{cases}
\frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2, \\
x^2 + xy — y^2 = -20;
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
u — \frac{3}{u} = -2, \quad u = \frac{3x + y}{x — y};
\)

\(
u^2 + 2u — 3 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
u_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)

Первое значение:
\(
3x + y = -3x + 3y;
\)

\(
2y = 6x, \quad y = 3x;
\)

Подставим в второе уравнение:
\(
x^2 + x \cdot 3x — (3x)^2 = -20;
\)

\(
x^2 + 3x^2 — 9x^2 = -20;
\)

\(
5x^2 = 20;
\)

\(
x^2 = 4;
\)

\(
x = \pm 2, \quad y = \pm 6;
\)

Второе значение:
\(
3x + y = x — y;
\)

\(
2y = -2x, \quad y = -x;
\)

Подставим в второе уравнение:
\(
x^2 + x \cdot (-x) — (-x)^2 = -20;
\)

\(
x^2 — x^2 — x^2 = -20;
\)

\(
x^2 = 20,
\)

\(
x = \pm 2\sqrt{5}, \quad y = \mp 2\sqrt{5};
\)

Ответ:
\(
(-2; -6); \quad (2; 6); \quad (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}); \quad (2\sqrt{5}; -2\sqrt{5}).
\)

1)
\(
\begin{cases}
x + y + xy = 4, \\
xy(x + y) = -21;
\end{cases}
\)

Первое уравнение можно переписать как:
\(
x + y = 4 — xy;
\)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\(
xy(4 — xy) = -21.
\)

Раскроем скобки:
\(
4xy — (xy)^2 = -21.
\)

Перепишем уравнение в стандартной форме:
\(
(xy)^2 — 4xy — 21 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения для \(xy\):
\(
xy_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad xy_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7.
\)

Рассмотрим первое значение \(xy_1 = -3\). Подставим его в уравнение:
\(
x — \frac{3}{x} + x \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = 4.
\)

Это можно упростить до:
\(
x — \frac{3}{x} — 7 = 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x\):
\(
x^2 — 7x — 3 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения для \(x\):
\(
x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\). Подставим найденные значения \(x\) в уравнение для \(y\):
\(
y = \frac{6}{-7 \pm \sqrt{61}}.
\)

Это можно переписать как:
\(
y = \frac{6(7 \pm \sqrt{61})}{(-7)^2 — (\sqrt{61})^2} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}.
\)

Теперь рассмотрим второе значение \(xy_2 = 7\). Подставим его в уравнение:
\(
\frac{7}{x} + \frac{7}{x} = 4.
\)

Это можно упростить до:
\(
x + \frac{7}{x} + 3 = 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x\):
\(
x^2 + 3x + 7 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19.
\)

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что у данного уравнения нет действительных решений:
\(D < 0, \text{значит } x \in \emptyset.\)

Ответ:
\(
\left(\frac{7 — \sqrt{61}}{2}; \frac{7 + \sqrt{61}}{2}\right); \quad \left(\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; \frac{7 — \sqrt{61}}{2}\right).
\)

2)
\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \\
2x — 3y = 10;
\end{cases}
\)

Первое уравнение можно переписать через переменную \(u\), где \(u = \frac{x}{y}\):
\(
u — \frac{1}{u} = \frac{15}{4}.
\)

Умножим обе стороны на \(u\):
\(
u^2 — 1 = \frac{15}{4} u.
\)

Переносим все члены в одну сторону:
\(
4u^2 — 15u — 4 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:
\(
D = 15^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения для \(u\):
\(
u_1 = \frac{15 — 17}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4} \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = 4.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для первого значения \(u_1 = -\frac{1}{4}\):
\(
y_1 = -4x.
\)

Для второго значения \(u_2 = 4\):
\(
y_2 = \frac{x}{4}.
\)

Теперь подставим каждое значение \(y\) в второе уравнение \(2x — 3y = 10\).

Первое значение:
Подставим \(y_1 = -4x\) в уравнение:
\(
2x — 3(-4x) = 10.
\)

Упрощаем:
\(
2x + 12x = 10.
\)

Соберем все подобные члены:
\(
14x = 10.
\)

Теперь найдем \(x\):
\(
x = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.
\)

Теперь найдем \(y\):
Подставим значение \(x\) в выражение для \(y_1\):
\(
y = -4 \cdot \frac{5}{7} = -\frac{20}{7}.
\)

Таким образом, для первого случая мы получили:
\(
(x, y) = \left(\frac{5}{7}, -\frac{20}{7}\right).
\)

Теперь рассмотрим второе значение:
Подставим \(y_2 = \frac{x}{4}\) в уравнение:
\(
2x — 3 \cdot \frac{x}{4} = 10.
\)

Умножим обе стороны на 4 для устранения дробей:
\(
8x — 3x = 40.
\)

Соберем подобные члены:
\(
5x = 40.
\)

Теперь найдем \(x\):
\(
x = \frac{40}{5} = 8.
\)

Теперь найдем \(y\):
Подставим значение \(x\) в выражение для \(y_2\):
\(
y = \frac{8}{4} = 2.
\)

Таким образом, для второго случая мы получили:
\(
(x, y) = (8, 2).
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{5}{7}, -\frac{20}{7}\right); \quad (8, 2).
\)

3)
\(
\begin{cases}
\frac{3x + y}{x — y} — \frac{3(x — y)}{3x + y} = -2, \\
x^2 + xy — y^2 = -20;
\end{cases}
\)

Первое уравнение можно переписать через переменную \(u\), где \(u = \frac{3x + y}{x — y}\):
\(
u — \frac{3}{u} = -2.
\)

Умножим обе стороны на \(u\):
\(
u^2 + 2u — 3 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения для \(u\):
\(
u_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из значений \(u\).

Для первого значения \(u_1 = -3\):
Подставим в уравнение:
\(
3x + y = -3(x — y).
\)

Раскроем скобки:
\(
3x + y = -3x + 3y.
\)

Переносим все члены с \(y\) в одну сторону:
\(
3x + 3x = 3y — y.
\)

Упрощаем:
\(
6x = 2y \quad \Rightarrow \quad y = 3x.
\)

Теперь подставим это значение в второе уравнение:
\(
x^2 + x \cdot (3x) — (3x)^2 = -20.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 + 3x^2 — 9x^2 = -20.
\)

Соберем все подобные члены:
\(
-5x^2 = -20.
\)

Теперь делим обе стороны на \(-5\):
\(
x^2 = 4.
\)

Из этого уравнения получаем:
\(
x = \pm 2.
\)

Подставим значения \(x\) обратно для нахождения \(y\):
Если \(x = 2\), то
\(
y = 3 \cdot 2 = 6.
\)

Если \(x = -2\), то
\(
y = 3 \cdot (-2) = -6.
\)

Таким образом, для первого значения \(u_1 = -3\) получаем пары:
\((-2; -6)\) и \((2; 6)\).

Теперь рассмотрим второе значение \(u_2 = 1\):
Подставим в уравнение:
\(
3x + y = x — y.
\)

Переносим все члены с \(y\) в одну сторону:
\(
3x + y + y = x.
\)

Упрощаем:
\(
3x + 2y = x.
\)

Переносим \(x\) в левую часть:
\(
2y = -2x \quad \Rightarrow \quad y = -x.
\)

Теперь подставим это значение в второе уравнение:
\(
x^2 + x(-x) — (-x)^2 = -20.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 — x^2 — x^2 = -20.
\)

Соберем все подобные члены:
\(
-x^2 = -20 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 20.
\)

Из этого уравнения получаем:
\(
x = \pm 2\sqrt{5}.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 2\sqrt{5}\), то
\(
y = -2\sqrt{5}.
\)

Если \(x = -2\sqrt{5}\), то
\(
y = 2\sqrt{5}.
\)

Таким образом, для второго значения \(u_2 = 1\) получаем пары:
\((-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})\) и \((2\sqrt{5}; -2\sqrt{5})\).

Ответ:
\((-2; -6); (2; 6); (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}); (2\sqrt{5}; -2\sqrt{5}).\)