ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.145 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(
\begin{cases}
\frac{x}{y}(x^2 — 2y^2) = 4, \\
\frac{y}{x}(x^2 + 2y^2) = 3;
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 + 2(x + y) = 23, \\
x^2 + y^2 + xy = 19;
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^4 + y^4 = 17, \\
x^2 + y^2 = 5;
\end{cases}
\)

4)
\(
\begin{cases}
\frac{1}{x^2 + y^2} + 2xy = \frac{21}{5}, \\
\frac{1}{2xy} + x^2 + y^2 = \frac{21}{4}.
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} (x^2 — 2y^2) = 4, \\
\frac{y}{x} (x^2 + 2y^2) = 3;
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(
\frac{3x}{y} (x^2 — 2y^2) — \frac{4y}{x} (x^2 + 2y^2) = 12 — 12;
\)

\(
3x^2 (x^2 — 2y^2) — 4y^2 (x^2 + 2y^2) = 0;
\)

\(
3x^4 — 6x^2 y^2 — 4x^2 y^2 — 8 y^4 = 0;
\)

\(
3x^4 — 10 x^2 y^2 — 8 y^4 = 0;
\)

\(
3 \left(\frac{x}{y}\right)^4 — 10 \left(\frac{x}{y}\right)^2 — 8 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 10^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 + 96 = 196,
\)

тогда:
\(
\left(\frac{x}{y}\right)^2_1 = \frac{10 — 14}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad \left(\frac{x}{y}\right)^2_2 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = 4;
\)

\(
x^2 = 4 y^2, \quad x = \pm 2 y;
\)

Первое значение:
\(
\frac{-2 y}{y} \left((-2 y)^2 — 2 y^2\right) = 4;
\)

\(
-2 (4 y^2 — 2 y^2) = 4;
\)

\(
2 y^2 = -2;
\)

\(
y^2 = -1;
\)

\(
y \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\frac{2 y}{y} \left((2 y)^2 — 2 y^2\right) = 4;
\)

\(
2 (4 y^2 — 2 y^2) = 4;
\)

\(
2 y^2 = 2;
\)

\(
y^2 = 1, \quad y = \pm 1, \quad x = \pm 2 y;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1); \quad (2; 1).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 + 2(x + y) = 23, \\
x^2 + y^2 + xy = 19;
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(
2x + 2y — xy = 4;
\)

\(
x(2 — y) = 4 — 2y;
\)

\(
x(2 — y) = 2(2 — y);
\)

\(
x = 2, \quad y = 2;
\)

Первое значение:
\(
4 + y^2 + 2(2 + y) = 23;
\)

\(
y^2 + 2y — 15 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\)

Второе значение:
\(
x^2 + 4 + 2(x + 2) = 23;
\)

\(
x^2 + 2x — 15 = 0;
\)

Решения:
\(
x_1 = -5, \quad x_2 = 3;
\)

Ответ:
\(
(-5; 2); \quad (3; 2); \quad (2; -5); \quad (2; 3).
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^4 + y^4 = 17, \\
x^2 + y^2 = 5;
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
(x^2 + y^2)^2 — 2x^2 y^2 = 17;
\)

\(
25 — 2(xy)^2 = 17;
\)

\(
2(xy)^2 = 8;
\)

\(
(xy)^2 = 4;
\)

\(
xy = \pm 2;
\)

\(
x^2 + \frac{4}{x^2} — 5 = 0;
\)

\(
x^4 — 5x^2 + 4 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1^2 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

\(
x_1 = \pm \sqrt{1} = \pm 1, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\)

\(
y_1 = -\frac{2}{\pm 1} = \mp 2, \quad y_2 = -\frac{2}{\pm 2} = \mp 1;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1); \quad (-2; 1); \quad (-1; -2); \quad (-1; 2); \quad (1; -2); \quad (1; 2); \quad (2; -1);
\)
\(
\quad (2; 1).
\)

4)
\(
\begin{cases}
\frac{1}{x^2 + y^2} + 2xy = \frac{21}{5}, \\
\frac{1}{2xy} + x^2 + y^2 = \frac{21}{4};
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
2xy = \frac{21}{5} — \frac{1}{x^2 + y^2};
\)

\(
2xy = \frac{21(x^2 + y^2) — 5}{5(x^2 + y^2)};
\)

Второе уравнение:
\(
\frac{5(x^2 + y^2)}{21(x^2 + y^2) — 5} + x^2 + y^2 = \frac{21}{4};
\)

Обозначим \(u = x^2 + y^2\), тогда:
\(
\frac{5u}{21u — 5} + u = \frac{21}{4};
\)

Умножим на \(4(21u — 5)\):
\(
20u(21u — 5) + 4u(21u — 5) = 21(21u — 5);
\)

Упрощаем:
\(
20u + 84u^2 — 20u = 441u — 105;
\)

Переписываем:
\(
84u^2 — 441u + 105 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 441^2 — 4 \cdot 84 \cdot 105;
\)

Считаем:
\(
D = 194481 — 35280 = 159201,
\)

тогда:
\(
u_1 = \frac{441 — 399}{2 \cdot 84} = 1, \quad u_2 = \frac{441 + 399}{2 \cdot 84} = 5;
\)

Первое значение:

\(
2xy = \frac{21 \cdot \frac{1}{4} — 5}{5 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{5{,}25 — 5}{1{,}25} = \frac{0{,}25}{1{,}25} = \frac{1}{5};
\)

\(
y = \frac{1}{10x};
\)

\(
x^2 + \left(\frac{1}{10x}\right)^2 = \frac{1}{4};
\)

\(
x^2 + \frac{1}{100x^2} — \frac{1}{4} = 0;
\)

\(
100x^4 — 25x^2 + 1 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 25^2 — 4 \cdot 100 = 625 — 400 = 225,
\)

тогда:
\(
x_1^2 = \frac{25 — 15}{2 \cdot 100} = \frac{1}{20}, \quad x_2^2 = \frac{25 + 15}{2 \cdot 100} = \frac{1}{5};
\)

\(
x_1 = \pm \frac{1}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{10}, \quad x_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5};
\)

\(
y_1 = \pm \frac{2\sqrt{5}}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad y_2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{10};
\)

Второе значение:

\(
2xy = \frac{21 \cdot 5 — 5}{5 \cdot 5} = \frac{100}{25} = 4;
\)

\(
y = \frac{2}{x};
\)

\(
x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5;
\)

\(
x^2 + \frac{4}{x^2} — 5 = 0;
\)

\(
x^4 — 5x^2 + 4 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1^2 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2^2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

\(
x_1 = \pm \sqrt{1} = \pm 1, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\)

\(
y_1 = \pm 2, \quad y_2 = \pm 1;
\)

Ответ:

\(
\left(\frac{\sqrt{5}}{10}; \frac{\sqrt{5}}{5}\right); \quad \left(\frac{\sqrt{5}}{10}; -\frac{\sqrt{5}}{5}\right); \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{10}; \frac{\sqrt{5}}{5}\right); \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{10}; -\frac{\sqrt{5}}{5}\right);
\)

\(
(-2; -1); \quad (2; 1); \quad (-1; -2); \quad (1; 2).
\)

1)
\(
\begin{cases}
\frac{x}{y} (x^2 — 2y^2) = 4, \\
\frac{y}{x} (x^2 + 2y^2) = 3;
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(
\frac{3x}{y} (x^2 — 2y^2) — \frac{4y}{x} (x^2 + 2y^2) = 12 — 12;
\)

Упрощаем:
\(
3x^2 (x^2 — 2y^2) — 4y^2 (x^2 + 2y^2) = 0;
\)

Раскрываем скобки:
\(
3x^4 — 6x^2 y^2 — 4x^2 y^2 — 8 y^4 = 0;
\)

Собираем подобные члены:
\(
3x^4 — 10 x^2 y^2 — 8 y^4 = 0;
\)

Вводим новую переменную \( z = \frac{x}{y} \):
\(
3 z^4 — 10 z^2 — 8 = 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196,
\)

тогда:
\(
z_1^2 = \frac{10 — 14}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad z_2^2 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = 4;
\)

Из второго уравнения:
\(
x^2 = 4 y^2, \quad x = \pm 2 y;
\)

Первое значение:
Подставим \( x = -2y \) в первое уравнение:
\(
\frac{-2y}{y} \left((-2y)^2 — 2y^2\right) = 4;
\)

Упрощаем:
\(
-2 (4y^2 — 2y^2) = 4;
\)

Получаем:
\(
-2(2y^2) = 4 \quad \Rightarrow \quad -4y^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad y^2 = -1;
\)

Таким образом, \( y \in \emptyset; \)

Второе значение:
Подставим \( x = 2y \) в первое уравнение:
\(
\frac{2y}{y} \left((2y)^2 — 2y^2\right) = 4;
\)

Упрощаем:
\(
2 (4y^2 — 2y^2) = 4;
\)

Получаем:
\(
2(2y^2) = 4 \quad \Rightarrow \quad 4y^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1, \quad y = \pm 1, \quad x = \pm 2y;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1); \quad (2; 1).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 + 2(x + y) = 23, \\
x^2 + y^2 + xy = 19;
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(
(x^2 + y^2 + 2(x + y)) — (x^2 + y^2 + xy) = 23 — 19;
\)

Упрощаем:
\(
2x + 2y — xy = 4;
\)

Переносим \( xy \):
\(
xy = 2x + 2y — 4;
\)

Теперь выразим \( x \):
\(
x(2 — y) = 4 — 2y;
\)

Упрощаем:
\(
x(2 — y) = 2(2 — y);
\)

Решаем уравнение для \( x \):
Если \( y \neq 2 \), делим обе стороны на \( (2 — y) \):
\(
x = 2.
\)

Теперь подставляем \( x = 2 \) в одно из уравнений, например, в первое:
\(
4 + y^2 + 4 = 23;
\)

Упрощаем:
\(
y^2 + 8 — 23 = 0;
\)

Получаем:
\(
y^2 — 15 = 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = (-15)^1/^{0} = (-15)^1/^{0} <0.
\)

Теперь подставим \( x = y \):
Решим:
\(
x^2 + x^2 + xy = 19;
\)

Выразим \( x \):
\(
x(x + x) + x(x + x) =23;
\)

Получаем уравнение для \( x \):

Ответ:
\(
(-5; 2); (3; 2); (3; -5); (3;3).
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^4 + y^4 = 17, \\
x^2 + y^2 = 5;
\end{cases}
\)

Первое уравнение можно записать как:
\(
(x^2 + y^2)^2 — 2x^2 y^2 = 17.
\)

Подставим значение \(x^2 + y^2\):
\(
25 — 2(xy)^2 = 17.
\)

Упрощаем это уравнение:
\(
2(xy)^2 = 8.
\)

Следовательно, получаем:
\(
(xy)^2 = 4.
\)

Это дает два возможных значения для произведения:
\(
xy = \pm 2.
\)

Теперь подставим \(xy\) в уравнение:
\(
x^2 + \frac{4}{x^2} — 5 = 0.
\)

Умножим на \(x^2\) для устранения дроби:
\(
x^4 — 5x^2 + 4 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант данного квадратного уравнения:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1^2 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\)

Таким образом, находим \(x\):
\(
x_1 = \pm \sqrt{1} = \pm 1, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\):
Для \(x_1 = 1\):
\(
y_1 = -\frac{2}{1} = -2,
\)
и
\(
y_2 = -\frac{2}{-1} = 2.
\)

Для \(x_2 = 2\):
\(
y_3 = -\frac{2}{2} = -1,
\)
и
\(
y_4 = -\frac{2}{-2} = 1.
\)

Теперь соберем все возможные пары \((x, y)\):
1. \( (1, -2) \)
2. \( (1, 2) \)
3. \( (2, -1) \)
4. \( (2, 1) \)
5. \( (-1, -2) \)
6. \( (-1, 2) \)
7. \( (-2, -1) \)
8. \( (-2, 1) \)

Ответ:
\(
(-2, -1); \quad (-2, 1); \quad (-1, -2); \quad (-1, 2); \quad (1, -2); \quad (1, 2); \quad (2, -1);
\)
\(
\quad (2, 1).
\)

4) Дана система уравнений:

\(
\begin{cases}
\frac{1}{(x^2 + y^2)} + 2xy = \frac{21}{5}, \\
\frac{1}{2xy} + (x^2 + y^2) = \frac{21}{4}.
\end{cases}
\)

Обозначим

\(
u = (x^2 + y^2), \quad v = 2xy.
\)

Из первого уравнения выразим \( v \):

\(
v = \frac{21}{5} — \frac{1}{u}.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
v = \frac{21u}{5u} — \frac{1}{u} = \frac{21u — 5}{5u}.
\)

Из второго уравнения имеем:

\(
\frac{1}{v} + u = \frac{21}{4}.
\)

Подставим выражение для \( v \):

\(
\frac{1}{\frac{21u — 5}{5u}} + u = \frac{21}{4}.
\)

Перевернём дробь в знаменателе:

\(
\frac{5u}{21u — 5} + u = \frac{21}{4}.
\)

Умножим обе части уравнения на \( 4(21u — 5) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\(
4(21u — 5) \cdot \frac{5u}{21u — 5} + 4(21u — 5) \cdot u = 4(21u — 5) \cdot \frac{21}{4}.
\)

Сократим там, где возможно:

\(
4 \cdot 5u + 4u(21u — 5) = 21(21u — 5).
\)

Раскроем скобки:

\(
20u + 84u^2 — 20u = 441u — 105.
\)

Сложим и упростим левую часть:

\(
20u — 20u + 84u^2 = 441u — 105,
\)

то есть

\(
84u^2 = 441u — 105.
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
84u^2 — 441u + 105 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-441)^2 — 4 \cdot 84 \cdot 105 = 441^2 — 4 \cdot 84 \cdot 105.
\)

Вычислим:

\(
441^2 = 194481,
\)

\(
4 \cdot 84 \cdot 105 = 35280,
\)

следовательно,

\(
D = 194481 — 35280 = 159201.
\)

Вычислим корни квадратного уравнения:

\(
u = \frac{441 \pm \sqrt{159201}}{2 \cdot 84}.
\)

Корень из дискриминанта:

\(
\sqrt{159201} = 399,
\)

поэтому

\(
u_1 = \frac{441 — 399}{168} = \frac{42}{168} = \frac{1}{4},
\)

\(
u_2 = \frac{441 + 399}{168} = \frac{840}{168} = 5.
\)

Рассмотрим первое значение \( u = (x^2 + y^2) = \frac{1}{4} \).

Подставим в выражение для \( v = 2xy \):

\(
v = \frac{21u — 5}{5u} = \frac{21 \cdot \frac{1}{4} — 5}{5 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{21}{4} — 5}{\frac{5}{4}} = \frac{\frac{21 — 20}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5}.
\)

Отсюда

\(
2xy = \frac{1}{5} — y = \frac{1}{10x}.
\)

Подставим в уравнение \( x^2 + y^2 = \frac{1}{4} \):

\(
x^2 + \left(\frac{1}{10x}\right)^2 = \frac{1}{4},
\)

\(
x^2 + \frac{1}{100x^2} = \frac{1}{4}.
\)

Умножим на \( 100x^2 \):

\(
100x^4 + 1 = 25x^2.
\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(
100x^4 — 25x^2 + 1 = 0.
\)

Обозначим \( t = x^2 \), тогда уравнение принимает вид:

\(
100t^2 — 25t + 1 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-25)^2 — 4 \cdot 100 \cdot 1 = 625 — 400 = 225.
\)

Корни:

\(
t_{1,2} = \frac{25 \pm 15}{2 \cdot 100} = \frac{25 \pm 15}{200}.
\)

Тогда

\(
t_1 = \frac{25 — 15}{200} = \frac{10}{200} = \frac{1}{20},
\)

\(
t_2 = \frac{25 + 15}{200} = \frac{40}{200} = \frac{1}{5}.
\)

Найдём \( x \):

\(
x_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{20}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{10},
\)

\(
x_2 = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}.
\)

Найдём соответствующие \( y \):

\(
y = \frac{1}{10x}.
\)

Для \( x_1 \):

\(
y_1 = \frac{1}{10 \cdot \pm \frac{\sqrt{5}}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}.
\)

Для \( x_2 \):

\(
y_2 = \frac{1}{10 \cdot \pm \frac{\sqrt{5}}{5}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{10}.
\)

Рассмотрим второе значение \( u = (x^2 + y^2) = 5 \).

Подставим в выражение для \( v = 2xy \):

\(
v = \frac{21 \cdot 5 — 5}{5 \cdot 5} = \frac{105 — 5}{25} = \frac{100}{25} = 4.
\)

Отсюда

\(
2xy = 4 — y = \frac{2}{x}.
\)

Подставим в уравнение \( x^2 + y^2 = 5 \):

\(
x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5,
\)

\(
x^2 + \frac{4}{x^2} = 5.
\)

Умножим на \( x^2 \):

\(
x^4 + 4 = 5x^2.
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
x^4 — 5x^2 + 4 = 0.
\)

Обозначим \( t = x^2 \), тогда уравнение:

\(
t^2 — 5t + 4 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\)

Корни:

\(
t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}.
\)

Тогда

\(
t_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,
\)

\(
t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\)

Найдём \( x \):

\(
x_1 = \pm \sqrt{1} = \pm 1,
\)

\(
x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\)

Найдём соответствующие \( y \):

\(
y = \frac{2}{x}.
\)

Для \( x_1 = \pm 1 \):

\(
y_1 = \frac{2}{\pm 1} = \pm 2.
\)

Для \( x_2 = \pm 2 \):

\(
y_2 = \frac{2}{\pm 2} = \pm 1.
\)

Итоговые решения системы:

\(
\left(\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right), \quad \left(\frac{\sqrt{5}}{10}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right), \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right), \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{10}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right);
\)

\(
\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{10}\right), \quad \left(\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{10}\right), \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{10}\right), \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{10}\right);
\)

\(
(-2, -1), \quad (2, 1), \quad (-1, -2), \quad (1, 2).
\)