Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.147 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) система уравнений
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16, \\
x — y = a
\end{cases}
\)
1) имеет единственное решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?
Определить количество решений:
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16, \\
x — y = a
\end{cases}
\)
Второе уравнение:
\(
x = y + a;
\)
Первое уравнение:
\(
(y + a)^2 + y^2 = 16;
\)
\(
y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16;
\)
\(
2y^2 + 2ay + (a^2 — 16) = 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16);
\)
\(
D = 4a^2 — 8a^2 + 128 = 128 — 4a^2;
\)
1) Одно решение:
\(
128 — 4a^2 = 0;
\)
\(
4a^2 = 128;
\)
\(
a^2 = 32;
\)
\(
a = \pm 4\sqrt{2};
\)
Ответ: \(\{-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2}\}\).
2) Два решения:
\(
128 — 4a^2 > 0;
\)
\(
4(a^2 — 32) < 0;
\)
\(
(a + 4\sqrt{2})(a — 4\sqrt{2}) < 0;
\)
\(
-4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2};
\)
Ответ: \((-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})\).
3) Не имеет решений:
\(
128 — 4a^2 < 0;
\)
\(
4(a^2 — 32) > 0;
\)
\(
(a + 4\sqrt{2})(a — 4\sqrt{2}) > 0;
\)
\(
a < -4\sqrt{2}, \quad a > 4\sqrt{2};
\)
Ответ: \((-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; +\infty)\).
Определить количество решений системы уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16, \\
x — y = a
\end{cases}
\)
Второе уравнение можно записать как:
\(
x = y + a.
\)
Подставим \(x = y + a\) во второе уравнение:
\(
(y + a)^2 + y^2 = 16.
\)
Раскроем скобки:
\(
y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16.
\)
Объединим подобные слагаемые:
\(
2y^2 + 2ay + (a^2 — 16) = 0.
\)
Получили квадратное уравнение относительно \(y\):
\(
2y^2 + 2ay + (a^2 — 16) = 0.
\)
Для нахождения количества решений найдем дискриминант:
\(
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16).
\)
Выполним вычисления:
\(
D = 4a^2 — 8(a^2 — 16).
\)
Раскроем скобки:
\(
D = 4a^2 — 8a^2 + 128.
\)
Упростим выражение:
\(
D = 128 — 4a^2.
\)
Теперь определим количество решений в зависимости от значения \(D\).
1. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет единственное решение.
\(
128 — 4a^2 = 0.
\)
Решим это уравнение:
\(
4a^2 = 128.
\)
Разделим на \(4\):
\(
a^2 = 32.
\)
Возьмем корень из обеих частей:
\(
a = \pm 4\sqrt{2}.
\)
Ответ:
\(
a = -4\sqrt{2}, \quad a = 4\sqrt{2}.
\)
Множество значений \(a\), при которых система имеет единственное решение:
\(
{-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2}}.
\)
2. Если дискриминант больше нуля (\(D > 0\)), то уравнение имеет два решения.
Условие:
\(
128 — 4a^2 > 0.
\)
Решим это неравенство:
\(
4(a^2 — 32) < 0.
\)
Разделим на \(4\):
\(
a^2 — 32 < 0.
\)
Разложим на множители:
\(
(a + 4\sqrt{2})(a — 4\sqrt{2}) < 0.
\)
Решение этого двойного неравенства:
\(
-4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2}.
\)
Ответ:
Множество значений \(a\), при которых система имеет два решения:
\(
(-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2}).
\)
3. Если дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), то уравнение не имеет решений.
Условие:
\(
128 — 4a^2 < 0.
\)
Решим это неравенство:
\(
4(a^2 — 32) > 0.
\)
Разделим на \(4\):
\(
a^2 — 32 > 0.
\)
Разложим на множители:
\(
(a + 4\sqrt{2})(a — 4\sqrt{2}) > 0.
\)
Решение этого двойного неравенства:
\(
a < -4\sqrt{2}, \quad a > 4\sqrt{2}.
\)
Ответ:
Множество значений \(a\), при которых система не имеет решений:
\(
(-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; +\infty).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.