ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.148 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:

1)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a, \\
|x| = 2;
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9, \\
y = a + |x|;
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
xy = 8.
\end{cases}
\)

1)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a, \\
|x| = 2
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
2^2 + y^2 = a; \quad y^2 = a — 4;
\)

Есть решения:
\(
a — 4 \geq 0; \quad a \geq 4;
\)

Графики функций:

Ответ:
— четыре решения, если \(a > 4\);
— два решения, если \(a = 4\);
— нет решений, если \(a < 4\).

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9, \\
y = a + |x|
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 + (a + |x|)^2 = 9;
\)
\(
x^2 + a^2 + 2a|x| + x^2 = 9;
\)
\(
2x^2 + 2a|x| + (a^2 — 9) = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9);
\)
\(
D = 4a^2 — 8a^2 + 72 = 72 — 4a^2;
\)

Есть решения:
\(
72 — 4a^2 \geq 0;
\)
\(
4(a^2 — 18) \leq 0;
\)
\(
(a + 3\sqrt{2})(a — 3\sqrt{2}) \leq 0;
\)
\(
-3\sqrt{2} \leq a \leq 3\sqrt{2};
\)

Графики функций:

Ответ:
— четыре решения, если \(-3\sqrt{2} < a < -3\);
— три решения, если \(a = -3\);
— два решения, если \(a = -3\sqrt{2}\) или \(-3 < a < 3\);
— одно решение, если \(a = 3\);
— нет решений, если \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\).

3)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
xy = 8
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
y = \frac{8}{x};
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = a^2;
\)
\(
x^4 — a^2 x^2 + 64 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = (a^2)^2 — 4 \cdot 64 = a^4 — 256;
\)

Есть решения:
\(
a^4 — 256 \geq 0;
\)
\(
(a^2 — 16)(a^2 + 16) \geq 0;
\)
\(
(a + 4)(a — 4) \geq 0;
\)
\(
a \leq -4, \quad a \geq 4;
\)

Графики функций:

Ответ:
— четыре решения, если \(a < -4\) или \(a > 4\);
— два решения, если \(a = -4\) или \(a = 4\);
— нет решений, если \(-4 < a < 4\).

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a, \\
|x| = 2
\end{cases}
\)

Первое уравнение можно записать как:
\(
2^2 + y^2 = a.
\)
Таким образом, получаем:
\(
y^2 = a — 4.
\)

Для существования решений необходимо, чтобы \(y^2\) было неотрицательным:
\(
a — 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 4.
\)

Графики функций представляют собой окружность радиуса \(\sqrt{a}\) и две вертикальные прямые \(x = 2\) и \(x = -2\).

Ответ:
— четыре решения, если \(a > 4\);
— два решения, если \(a = 4\);
— нет решений, если \(a < 4\).

2)
Рассмотрим следующую систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9, \\
y = a + |x|
\end{cases}
\)

Подставим второе уравнение в первое:
\(
x^2 + (a + |x|)^2 = 9.
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 + a^2 + 2a|x| + x^2 = 9.
\)
Объединим подобные слагаемые:
\(
2x^2 + 2a|x| + (a^2 — 9) = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для квадратного уравнения:
\(
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9).
\)
Выполним вычисления:
\(
D = 4a^2 — 8(a^2 — 9) = 4a^2 — 8a^2 + 72 = 72 — 4a^2.
\)

Для существования решений необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:
\(
72 — 4a^2 \geq 0.
\)
Разделим на \(4\):
\(
18 — a^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 \leq 18.
\)

Преобразуем неравенство:
\(
-3\sqrt{2} \leq a \leq 3\sqrt{2}.
\)

Графики функций представляют собой окружность радиуса \(3\) и угловую функцию \(y = a + |x|\).

Ответ:
— четыре решения, если \(-3\sqrt{2} < a < -3\);
— три решения, если \(a = -3\);
— два решения, если \(a = -3\sqrt{2}\) или \(-3 < a < 3\);
— одно решение, если \(a = 3\);
— нет решений, если \(a < -3\sqrt{2}\) или \(a > 3\).

3)
Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
xy = 8
\end{cases}
\)

Из второго уравнения выразим \(y\):
\(
y = \frac{8}{x}.
\)

Подставим это значение во первое уравнение:
\(
x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = a^2.
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2 + \frac{64}{x^2} = a^2.
\)
Умножим обе части на \(x^2\):
\(
x^4 — a^2 x^2 + 64 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:
\(
D = (a^2)^2 — 4 \cdot 64 = a^4 — 256.
\)

Для существования решений необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:
\(
a^4 — 256 \geq 0.
\)
Разложим на множители:
\((a^2 — 16)(a^2 + 16) \geq 0.\)

Поскольку \(a^2 + 16 > 0\) для всех \(a\), необходимо решить только неравенство:
\(a^2 — 16 \geq 0.\)

Преобразуем неравенство:
\(a \leq -4 \quad \text{или} \quad a \geq 4.\)

Графики функций представляют собой окружность радиуса \(a\) и гиперболу \(y = \frac{8}{x}\).

Ответ:
— четыре решения, если \(a < -4\) или \(a > 4\);
— два решения, если \(a = -4\) или \(a = 4\);
— нет решений, если \(-4 < a < 4\).