ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.149 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

1)
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 > 0
\)
при всех действительных значениях \(x\) и \(y\).

2)
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0
\)
при всех действительных значениях \(x\) и \(y\).

3)
\(
ab(a + b) < a^3 + b^3,
\)
если \(a < 0\), \(b < 0\).

4)
\(
m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0,
\)
если \(m > 2\).

5)
\(
\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2
\)
при всех действительных значениях \(a\).

1)
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0, \quad x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R};
\)
\(
(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 + 4y + 1) \geq 0;
\)
\(
(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \geq 0;
\)
Что и требовалось доказать.

2)
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0, \quad x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R};
\)
\(
(x^2 + 10xy + 25y^2) + (y^2 — 12y + 36) + 4 > 0;
\)
\(
(x + 5y)^2 + (y — 6)^2 + 4 > 0;
\)
Что и требовалось доказать.

3)
\(
ab(a + b) < a^3 + b^3, \quad a < 0, b < 0;
\)
\(
ab(a + b) < (a + b)(a^2 — ab + b^2);
\)
\(
(a + b)(a^2 > 2ab + b^2) < 0;
\)
\(
(a + b)(a — b)^2 \leq 0;
\)
Что и требовалось доказать.

4)
\(
m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0, \quad m > 2;
\)
\(
(m^3 — 8) + (2m^2 — 4m) > 0;
\)
\(
(m — 2)(m^2 + 2m + 4) + 2m(m — 2) > 0;
\)
\(
(m — 2)(m^2 + 4m + 4) > 0;
\)
\(
(m — 2)(m + 2)^2 > 0;
\)
Что и требовалось доказать.

5)
\(
\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2, \quad a \in \mathbb{R};
\)
\(
\frac{a^2 + 4 + 1}{\sqrt{a^2 + 4}} — 2 > 0;
\)
\(
\frac{\left(\sqrt{a^2 + 4}\right)^2 — 2 \sqrt{a^2 + 4} + 1}{\sqrt{a^2 + 4}} > 0;
\)
\(
\frac{\left(\sqrt{a^2 + 4} — 1\right)^2}{\sqrt{a^2 + 4}} > 0;
\)
Что и требовалось доказать.

1)
Докажем неравенство:
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0, \quad x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}.
\)
Сначала упростим выражение, выделив полные квадраты:
\(
(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 + 4y + 1) \geq 0.
\)
Это можно переписать как:
\(
(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \geq 0.
\)
Так как сумма квадратов всегда неотрицательна, мы доказали, что
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0.
\)

2)
Теперь рассмотрим неравенство:
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0, \quad x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}.
\)
Разделим выражение на части:
\(
(x^2 + 10xy + 25y^2) + (y^2 — 12y + 36) + 4 > 0.
\)
Это можно записать как:
\(
(x + 5y)^2 + (y — 6)^2 + 4 > 0.
\)
Сумма квадратов и положительного числа всегда больше нуля, следовательно,
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0.
\)

3)
Теперь докажем неравенство:
\(
ab(a + b) < a^3 + b^3, \quad a < 0, b < 0.
\)
Перепишем правую часть:
\(
ab(a + b) < (a + b)(a^2 — ab + b^2).
\)
Упростим неравенство:
\(
(a + b)(a^2 — 2ab + b^2) < 0.
\)
Так как \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2 \geq 0\), то неравенство выполняется, если \(a + b < 0\). Таким образом, мы доказали, что
\(
ab(a + b) < a^3 + b^3.
\)

4)
Рассмотрим неравенство:
\(
m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0, \quad m > 2.
\)
Разделим выражение:
\(
(m^3 — 8) + (2m^2 — 4m) > 0.
\)
Запишем это в виде:
\(
(m — 2)(m^2 + 2m + 4) + 2m(m — 2) > 0.
\)
Упрощаем:
\(
(m — 2)(m^2 + 4m + 4) > 0.
\)
Так как \(m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 \geq 0\), то неравенство выполняется при \(m — 2 > 0\), что означает, что
\(
m > 2.
\)

5)
Теперь докажем неравенство:
\(
\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2, \quad a \in \mathbb{R}.
\)
Перепишем неравенство:
\(
\frac{a^2 + 4 + 1}{\sqrt{a^2 + 4}} — 2 > 0.
\)
Это можно записать как:
\(
\frac{\left(\sqrt{a^2 + 4}\right)^2 — 2 \sqrt{a^2 + 4} + 1}{\sqrt{a^2 + 4}} > 0.
\)
Упрощаем:
\(
\frac{\left(\sqrt{a^2 + 4} — 1\right)^2}{\sqrt{a^2 + 4}} > 0.
\)
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, и знаменатель положителен при \(a^2 + 4 > 0\), мы можем заключить, что неравенство верно для всех действительных значений \(a\).