ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.151 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \(xy = 1\), \(x > 0\), \(a > 0\), \(b > 0\), \(n > 0\). Докажите неравенство:
\(
ax + by > 2\sqrt{ab}.
\)

Доказать неравенство:
\(
xy = 1, \quad x > 0, \quad a > 0, \quad b > 0;
\)

\(
ax + by \geq 2 \sqrt{ab} \quad | \cdot \sqrt{xy};
\)

\(
ax \cdot 1 — 2 \sqrt{ab} \cdot xy + by \cdot 1 \geq 0;
\)

\(
(\sqrt{ax})^2 — 2 \sqrt{ax \cdot by} + (\sqrt{by})^2 \geq 0;
\)

\(
(\sqrt{ax} — \sqrt{by})^2 \geq 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:

Допустим, что \(xy = 1\), \(x > 0\), \(a > 0\), \(b > 0\).

Рассмотрим неравенство:
\(
ax + by \geq 2 \sqrt{ab}.
\)

Умножим обе стороны неравенства на \(\sqrt{xy}\) (так как \(\sqrt{xy} > 0\)):
\(
ax \cdot \sqrt{xy} — 2 \sqrt{ab} \cdot xy + by \cdot \sqrt{xy} \geq 0.
\)

Так как \(xy = 1\), подставим это значение:
\(
ax \cdot 1 — 2 \sqrt{ab} \cdot 1 + by \cdot 1 \geq 0.
\)

Это можно переписать как:
\(
ax — 2 \sqrt{ab} + by \geq 0.
\)

Теперь мы можем использовать метод выделения полного квадрата. Перепишем выражение:
\(
(\sqrt{ax})^2 — 2 \sqrt{ax \cdot by} + (\sqrt{by})^2 \geq 0.
\)

Это выражение является квадратом разности:
\(
(\sqrt{ax} — \sqrt{by})^2 \geq 0.
\)

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы имеем:
\(
(\sqrt{ax} — \sqrt{by})^2 \geq 0.
\)

Таким образом, мы доказали, что
\(
ax + by \geq 2 \sqrt{ab}
\)
при условии, что \(xy = 1\), \(x > 0\), \(a > 0\), \(b > 0\).

Что и требовалось доказать.