ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.152 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
\(
(1 + a + a^2 + a^3)^2 < 4(1 + a^2 + a^4 + a^6).
\)

\(
(1 + a + a^2 + a^3)^2 \leq 4(1 + a^2 + a^4 + a^6);
\)

\(
((1 + a) + a^2(1 + a))^2 — 4((1 + a^2) + a^4(1 + a^2)) \leq 0;
\)

\(
(1 + a)^2 (1 + a^2)^2 — 4(1 + a^2)(1 + a^4) \leq 0;
\)

\(
(1 + a^2) \big((1 + 2a + a^2)(1 + a^2) — 4(1 + a^4)\big) \leq 0;
\)

\(
(1 + a^2)(1 + a^2 + 2a + 2a^3 + a^2 + a^4 — 4 — 4a^4) \leq 0;
\)

\(
(1 + a^2)(-3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 2a — 3) \leq 0;
\)

\(
(1 + a^2)(a — 1)(-3a^3 — a^2 + a + 3) \leq 0;
\)

\(
(1 + a^2)(a — 1)(a — 1)(-3a^2 — 4a — 3) \leq 0;
\)

\(
-(1 + a^2)(a — 1)^2 (3a^2 + 4a + 3) \leq 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:

Рассмотрим неравенство:
\(
(1 + a + a^2 + a^3)^2 \leq 4(1 + a^2 + a^4 + a^6).
\)

Для начала упростим левую часть. Мы можем переписать её как:
\(
((1 + a) + a^2(1 + a))^2 — 4((1 + a^2) + a^4(1 + a^2)) \leq 0.
\)

Теперь раскроем скобки:
\(
(1 + a)^2 (1 + a^2)^2 — 4(1 + a^2)(1 + a^4) \leq 0.
\)

Затем выделим общий множитель:
\(
(1 + a^2) \big((1 + 2a + a^2)(1 + a^2) — 4(1 + a^4)\big) \leq 0.
\)

Теперь упростим выражение в скобках:
\(
(1 + a^2)(1 + a^2 + 2a + 2a^3 + a^2 + a^4 — 4 — 4a^4) \leq 0.
\)

Соберём подобные члены:
\(
(1 + a^2)(-3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 2a — 3) \leq 0.
\)

Теперь мы можем разложить на множители:
\(
(1 + a^2)(a — 1)(-3a^3 — a^2 + a + 3) \leq 0.
\)

Затем снова раскроем скобки:
\(
(1 + a^2)(a — 1)(a — 1)(-3a^2 — 4a — 3) \leq 0.
\)

Наконец, мы можем записать это как:
\(
-(1 + a^2)(a — 1)^2 (3a^2 + 4a + 3) \leq 0.
\)

Мы видим, что \(1 + a^2 > 0\) для всех \(a\), а также \((a — 1)^2 \geq 0\). Таким образом, неравенство выполняется.

Что и требовалось доказать.