ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.156 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства:
1) \(56 — x^2 — x > 0;\)
2) \(2x^2 — x — 15 < 0.\)

Найти наименьшее целое решение:

1)
\(
56 — x^2 — x > 0;
\)
\(
x^2 + x — 56 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225,
\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7;
\)
\(
(x + 8)(x — 7) < 0;
\)
\(
-8 < x < 7;
\)
Ответ: \(-7\).

2)
\(
2x^2 — x — 15 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 15 = 1 + 120 = 121,
\) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = 3;
\)
\(
\left(x + \frac{5}{2}\right)(x — 3) < 0;
\)
\(
-\frac{5}{2} < x < 3;
\)
Ответ: \(-2\).

Найти наименьшее целое решение:

1) Рассмотрим неравенство:
\(
56 — x^2 — x > 0.
\)
Перепишем его в виде:
\(
x^2 + x — 56 < 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня, которые можем найти по формуле:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 15}{2} = -8,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 15}{2} = 7.
\)

Теперь мы можем разложить неравенство:
\(
(x + 8)(x — 7) < 0.
\)

Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервале:
\(
-8 < x < 7.
\)

Таким образом, наименьшее целое решение для первого неравенства:
Ответ: \(-7\).

2) Рассмотрим второе неравенство:
\(
2x^2 — x — 15 < 0.
\)
Сначала найдем дискриминант \(D\):
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121.
\)
Дискриминант также положителен, значит, у нас есть два корня:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 11}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3.
\)

Разложим неравенство:
\(
\left(x + \frac{5}{2}\right)(x — 3) < 0.
\)

Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервале:
\(
-\frac{5}{2} < x < 3.
\)

Таким образом, наименьшее целое решение для второго неравенства:
Ответ: \(-2\).