ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.158 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение:
1) \(x^2 — ax + 9 = 0;\)
2) \(x^2 + (a + 2)x + 25 = 0.\)

При каких \(a\) уравнение не имеет корней:

1)
\(
x^2 — ax + 9 = 0;
\)
\(
D = a^2 — 4 \cdot 9 < 0;
\)
\(
a^2 — 36 < 0;
\)
\(
(a + 6)(a — 6) < 0;
\)
\(
-6 < a < 6;
\)
Ответ: \((-6; 6)\).

2)
\(
x^2 + (a + 2)x + 25 = 0;
\)
\(
D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 25 < 0;
\)
\(
a^2 + 4a + 4 — 100 < 0;
\)
\(
a^2 + 4a — 96 < 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 96 = 16 + 384 = 400,
\) тогда:
\(
a_1 = \frac{-4 — 20}{2} = -12 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 20}{2} = 8;
\)
\(
(a + 12)(a — 8) < 0;
\)
\(
-12 < a < 8;
\)
Ответ: \((-12; 8)\).

При каких \(a\) уравнение не имеет корней:

1) Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 — ax + 9 = 0.
\)
Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант \(D\) должен быть меньше нуля. Вычислим дискриминант:
\(
D = a^2 — 4 \cdot 9 < 0.
\)
Упростим неравенство:
\(
a^2 — 36 < 0.
\)
Теперь разложим его:
\(
(a + 6)(a — 6) < 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервале:
\(
-6 < a < 6.
\)
Таким образом, ответ для первого уравнения:
Ответ: \((-6; 6)\).

2) Рассмотрим второе уравнение:
\(
x^2 + (a + 2)x + 25 = 0.
\)
Для этого уравнения также требуется, чтобы дискриминант был меньше нуля:
\(
D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 25 < 0.
\)
Упростим неравенство:
\(
D = a^2 + 4a + 4 — 100 < 0,
\)
что эквивалентно:
\(
a^2 + 4a — 96 < 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного неравенства:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400.
\)
Теперь находим корни неравенства \(a^2 + 4a — 96 = 0\):
\(
a_1 = \frac{-4 — \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 — 20}{2} = -12,
\)
\(
a_2 = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 + 20}{2} = 8.
\)

Теперь разложим неравенство:
\(
(a + 12)(a — 8) < 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервале:
\(
-12 < a < 8.
\)
Таким образом, ответ для второго уравнения:
Ответ: \((-12; 8)\).