ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.159 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет два различных действительных корня уравнение:
1) \(x^2 — 6bx + 8b + 1 = 0;\)
2) \(2x^2 + 2(b — 4)x + b = 0.\)

При каких \(b\) уравнение имеет два корня:

1)
\(
x^2 — 6bx + 8b + 1 = 0;
\)
\(
D = (6b)^2 — 4(8b + 1) > 0;
\)
\(
36b^2 — 32b — 4 > 0;
\)
\(
9b^2 — 8b — 1 > 0;
\)
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100,
\) тогда:
\(
b_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{9} \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = 1;
\)
\(
\left(b + \frac{1}{9}\right)(b — 1) > 0;
\)
\(
b < -\frac{1}{9}, \quad b > 1;
\)
Ответ: \((-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (1; +\infty)\).

2)
\(
2x^2 + 2(b — 4)x + b = 0;
\)
\(
D = 2^2 (b — 4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot b > 0;
\)
\(
4(b^2 — 8b + 16) — 8b > 0;
\)
\(
4(b^2 — 10b + 16) > 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36,
\) тогда:
\(
b_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8;
\)
\(
(b — 2)(b — 8) > 0;
\)
\(
b < 2, \quad b > 8;
\)
Ответ: \((-\infty; 2) \cup (8; +\infty)\).

При каких \(b\) уравнение имеет два корня:

1) Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 — 6bx + 8b + 1 = 0.
\)
Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант \(D\) должен быть больше нуля. Вычислим дискриминант:
\(
D = (6b)^2 — 4(8b + 1) > 0.
\)
Упростим это неравенство:
\(
D = 36b^2 — 32b — 4 > 0.
\)
Теперь можем разделить все коэффициенты на 4 для упрощения:
\(
9b^2 — 8b — 1 > 0.
\)

Теперь найдем дискриминант этого квадратного неравенства:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100.
\)
Найдем корни уравнения \(9b^2 — 8b — 1 = 0\):
\(
b_1 = \frac{8 — \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 — 10}{18} = -\frac{1}{9},
\)
\(
b_2 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 + 10}{18} = 1.
\)

Теперь разложим неравенство:
\(
\left(b + \frac{1}{9}\right)(b — 1) > 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно, когда:
\(
b < -\frac{1}{9}, \quad b > 1.
\)
Таким образом, ответ для первого уравнения:
Ответ: \((-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (1; +\infty)\).

2) Рассмотрим второе уравнение:
\(
2x^2 + 2(b — 4)x + b = 0.
\)
Для этого уравнения также требуется, чтобы дискриминант был больше нуля:
\(
D = 2^2 (b — 4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot b > 0.
\)
Упростим это неравенство:
\(
D = 4(b^2 — 8b + 16) — 8b > 0,
\)
что эквивалентно:
\(
4(b^2 — 10b + 16) > 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого квадратного неравенства:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36.
\)
Теперь находим корни уравнения \(4(b^2 — 10b + 16) = 0\):
\(
b_1 = \frac{10 — \sqrt{36}}{2} = \frac{10 — 6}{2} = 2,
\)
\(
b_2 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8.
\)

Разложим неравенство:
\(
(b — 2)(b — 8) > 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно, когда:
\(
b < 2, \quad b > 8.
\)
Таким образом, ответ для второго уравнения:
Ответ: \((-\infty; 2) \cup (8; +\infty)\).