ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько натуральных делителей имеет произведение двух различных простых чисел?

Сколько натуральных делителей имеет произведение двух разных простых чисел:
\( a_1 \) — единица;
\( a_2 \) — первое из данных чисел;
\( a_3 \) — второе из данных чисел;
\( a_4 \) — произведение этих чисел.

Ответ: \( 4 \).

Даны два разных простых числа \( p_1 \) и \( p_2 \). Простые числа — это числа, которые имеют ровно два натуральных делителя: \( 1 \) и само число.

Произведение двух простых чисел обозначим как \( n = p_1 \cdot p_2 \). Требуется определить количество натуральных делителей числа \( n \).

Шаг 1. Натуральные делители

Натуральные делители числа \( n = p_1 \cdot p_2 \) — это такие числа, которые делят \( n \) нацело, то есть остаток от деления равен нулю.

Поскольку \( p_1 \) и \( p_2 \) — простые числа, их произведение \( n \) может быть разделено только на следующие числа:
1. \( 1 \): единица всегда является делителем любого натурального числа.
2. \( p_1 \): первое простое число делит произведение \( p_1 \cdot p_2 \), так как \( n = p_1 \cdot p_2 \).
3. \( p_2 \): второе простое число также делит произведение \( p_1 \cdot p_2 \), так как \( n = p_1 \cdot p_2 \).
4. \( n = p_1 \cdot p_2 \): само произведение также является делителем числа \( n \).

Таким образом, натуральные делители числа \( n = p_1 \cdot p_2 \):
\(
a_1 = 1, \quad a_2 = p_1, \quad a_3 = p_2, \quad a_4 = p_1 \cdot p_2.
\)

Шаг 2. Проверка на уникальность

Проверим, что все четыре делителя уникальны:
— \( a_1 = 1 \): единица всегда уникальна.
— \( a_2 = p_1 \): первое простое число уникально, так как простые числа не равны друг другу и больше единицы.
— \( a_3 = p_2 \): второе простое число также уникально и отлично от первого.
— \( a_4 = p_1 \cdot p_2 \): произведение двух разных простых чисел уникально и больше каждого из них.

Таким образом, все четыре делителя являются различными.

Шаг 3. Ответ

Число \( n = p_1 \cdot p_2 \) имеет ровно четыре натуральных делителя:
\(
1, \, p_1, \, p_2, \, p_1 \cdot p_2.
\)

Ответ:
\(
4.
\)