ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.160 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) \(\begin{cases} 6x^2 — 13x + 5 > 0 \\ 8 — 2x > 0 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} x^2 — 6x — 27 < 0 \\ 2x — x^2 < 0 \end{cases}\)

Решить систему неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
6x^2 — 13x + 5 \geq 0; \\
8 — 2x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
6x^2 — 13x + 5 \geq 0;
\)
\(
D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49,
\) тогда:
\(
x_1 = \frac{13 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3};
\)
\(
(x — \frac{1}{2})(x — \frac{5}{3}) \geq 0;
\)
\(
x \leq \frac{1}{2}, \quad x \geq \frac{5}{3};
\)

Второе неравенство:
\(
8 — 2x > 0;
\)
\(
2x < 8;
\)
\(
x < 4;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4).
\)

Решим систему неравенств:

2)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 27 < 0; \\
2x — x^2 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 6x — 27 < 0.
\)
Дискриминант:
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 144.
\)
Корни:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 9.
\)
Неравенство верно в интервале:
\(
-3 < x < 9.
\)

Второе неравенство:
\(
2x — x^2 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) \geq 0.
\)
Неравенство верно при:
\(
x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2.
\)

Объединяем результаты:
Ответ:
\(
(-3; 0] \cup [2; 9).
\)

Решить систему неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
6x^2 — 13x + 5 \geq 0; \\
8 — 2x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
6x^2 — 13x + 5 \geq 0.
\)
Для нахождения корней этого квадратного неравенства вычислим дискриминант \(D\):
\(
D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
\(
x_1 = \frac{13 — \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 — 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}.
\)

Теперь разложим неравенство:
\(
(6x^2 — 13x + 5) = (x — \frac{1}{2})(x — \frac{5}{3}) \geq 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервалах:
\(
x \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{5}{3}.
\)

Второе неравенство:
\(
8 — 2x > 0.
\)
Решим его:
\(
2x < 8,
\)
что эквивалентно:
\(
x < 4.
\)

Теперь объединим результаты из обоих неравенств. У нас есть два условия:
1) \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\),
2) \(x < 4\).

Объединив эти условия, получаем:
Ответ:
\(
(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 27 < 0; \\
2x — x^2 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 6x — 27 < 0.
\)
Вычислим дискриминант \(D\):
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144,
\) тогда:
\(
x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9.
\)
Разложим неравенство:
\(
(x + 3)(x — 9) < 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервале:
\(
-3 < x < 9.
\)

Второе неравенство:
\(
2x — x^2 \leq 0.
\)
Перепишем его:
\(
-x^2 + 2x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) \geq 0.
\)
Решим это неравенство. Оно будет истинно в интервалах:
\(
x \leq 0, \quad x \geq 2.
\)

Теперь объединим результаты из обоих неравенств. Ответ:
\(
(-3; 0] \cup [2; 9).
\)