ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.161 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \(x^2 — 7|x| — 30 < 0;\)
2) \(6x^2 + 5|x| — 1 > 0.\)

1)
\(
x^2 — 7|x| — 30 < 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = x^2 — 7|x| — 30;
\)
\(
f(-x) = (-x)^2 — 7|-x| — 30;
\)
\(
f(-x) = x^2 — 7|x| — 30 = f(x);
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
x^2 — 7x — 30 < 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10;
\)

\(
(x + 3)(x — 10) < 0;
\)

\(
-3 < x < 10;
\)

Ответ:
\(
(-10; 10).
\)

2)
\(
6x^2 + 5|x| — 1 \geq 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = 6x^2 + 5|x| — 1;
\)
\(
f(-x) = 6(-x)^2 + 5|-x| — 1;
\)
\(
f(-x) = 6x^2 + 5|x| — 1 = f(x);
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
6x^2 + 5x — 1 \geq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 + 24 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{6};
\)

\(
(x + 1)\left(x — \frac{1}{6}\right) \geq 0;
\)

\(
x \leq -1, \quad x \geq \frac{1}{6};
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{6}; +\infty\right).
\)

Решим неравенство:

1)
\(
x^2 — 7|x| — 30 < 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = x^2 — 7|x| — 30;
\)
Проверим:
\(
f(-x) = (-x)^2 — 7|-x| — 30 = x^2 — 7|x| — 30 = f(x).
\)

Это означает, что неравенство имеет симметричное решение относительно оси \(y\).

Рассмотрим два случая для \(x\):

1. Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
x^2 — 7x — 30 < 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10.
\)

Разложим неравенство:
\(
(x + 3)(x — 10) < 0.
\)
Решим неравенство. Оно будет истинно на интервале:
\(
-3 < x < 10.
\)

Поскольку рассматриваем случай \(x \geq 0\), то учитываем только положительные корни:
\(
0 < x < 10.
\)

Таким образом, для первого неравенства ответ:
\(
(-10; 10).
\)

2)
\(
6x^2 + 5|x| — 1 \geq 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(x) = 6x^2 + 5|x| — 1.
\)
Проверим:
\(
f(-x) = 6(-x)^2 + 5|-x| — 1 = 6x^2 + 5|x| — 1 = f(x).
\)

Рассмотрим два случая для \(x\):

1. Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
6x^2 + 5x — 1 \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 + 24 = 49.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{6}.
\)

Разложим неравенство:
\(
(x + 1)\left(x — \frac{1}{6}\right) \geq 0.
\)
Решим неравенство. Оно будет истинно на интервалах:
\(
x \leq -1, \quad x \geq \frac{1}{6}.
\)

Поскольку рассматриваем случай \(x \geq 0\), то учитываем только положительные корни:
\(
x \geq \frac{1}{6}.
\)

Таким образом, для второго неравенства ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{6}; +\infty\right).
\)