ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.162 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \((x + 8.6)(3 — x)(4 — x) > 0;\)
2) \((6 + x)(x + 1)(2 — x) < 0;\)
3) \(\frac{(x + 9)(x + 2)}{(x — 9)} > 0;\)
4) \(\frac{(6 — x)}{(x — 4)} > 0.\)

1)
\(
(x + 8.6)(3 — x)(4 — x) \geq 0;
\)
\(
(x + 8.6)(x — 3)(x — 4) \geq 0;
\)
\(
-8.6 \leq x \leq 3, \quad x \geq 4;
\)
Ответ:
\(
(-8.6; 3) \cup [4; +\infty).
\)

2)
\(
(6 + x)(x + 1)(2 — x) < 0;
\)
\(
(x + 6)(x + 1)(x — 2) > 0;
\)
\(
-6 < x < -1, \quad x > 2;
\)
Ответ:
\(
(-6; -1) \cup (2; +\infty).
\)

3)
\(
\frac{(x + 9)(x + 2)}{x — 9} \geq 0;
\)
\(
-9 \leq x \leq -2, \quad x > 9;
\)
Ответ:
\(
(-9; -2) \cup (9; +\infty).
\)

4)
\(
\frac{6 — x}{x — 4} \geq 0;
\)
\(
4 < x \leq 6;
\)
Ответ:
\(
(4; 6].
\)

1)
\(
(x + 8.6)(3 — x)(4 — x) \geq 0.
\)
Сначала найдем корни неравенства. Корни находятся при равенстве каждого множителя нулю:
\(
x + 8.6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8.6,
\)
\(
3 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3,
\)
\(
4 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.
\)
Теперь у нас есть три критических точки: \(x = -8.6, x = 3, x = 4\).

Разобьем числовую прямую на интервалы и проверим знак произведения на каждом интервале:
1. \( (-\infty, -8.6) \)
2. \( (-8.6, 3) \)
3. \( (3, 4) \)
4. \( (4, +\infty) \)

Проверяем знак в каждом интервале:
— Для \(x < -8.6\): все множители отрицательные, произведение положительное.
— Для \(-8.6 < x < 3\): один положительный и два отрицательных, произведение отрицательное.
— Для \(3 < x < 4\): два положительных и один отрицательный, произведение положительное.
— Для \(x > 4\): все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
\(
(-\infty, -8.6) \cup (3, +\infty).
\)

Ответ:
\(
(-8.6; 3) \cup [4; +\infty).
\)

2)
\(
(6 + x)(x + 1)(2 — x) < 0.
\)
Находим корни:
\(
6 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6,
\)
\(
x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1,
\)
\(
2 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.
\)
Критические точки: \(x = -6, x = -1, x = 2\).

Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, -1) \)
3. \( (-1, 2) \)
4. \( (2, +\infty) \)

Проверяем знак в каждом интервале:
— Для \(x < -6\): все множители отрицательные, произведение положительное.
— Для \(-6 < x < -1\): один положительный и два отрицательных, произведение отрицательное.
— Для \(-1 < x < 2\): два положительных и один отрицательный, произведение положительное.
— Для \(x > 2\): все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:
\(
(-6; -1).
\)

Ответ:
\(
(-6; -1) \cup (2; +\infty).
\)

3)
\(
\frac{(x + 9)(x + 2)}{x — 9} \geq 0.
\)
Находим корни числителя:
\(
x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -9,
\)
\(
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\)
Корень знаменателя:
\(
x — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9.
\)
Критические точки: \(x = -9, x = -2, x = 9\).

Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, -9) \)
2. \( (-9, -2) \)
3. \( (-2, 9) \)
4. \( (9, +\infty) \)

Проверяем знак в каждом интервале:
— Для \(x < -9\): все множители положительные, дробь положительная.
— Для \(-9 < x < -2\): один положительный и один отрицательный в числителе, дробь отрицательная.
— Для \(-2 < x < 9\): два положительных и один отрицательный в числителе, дробь положительная.
— Для \(x > 9\): все множители положительные, дробь положительная.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
\(
(-9; -2] \cup (9; +\infty).
\)

Ответ:
\(
(-9; -2) \cup (9; +\infty).
\)

4)
\(
\frac{6 — x}{x — 4} \geq 0.
\)
Находим корни числителя и знаменателя:
\(6 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6,\)
\(x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.\)
Критические точки: \(x = 6, x = 4.\)

Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, 4) \)
2. \( (4, 6) \)
3. \( (6, +\infty) \)

Проверяем знак в каждом интервале:
— Для \(x < 4\): числитель положительный, знаменатель отрицательный — дробь отрицательная.
— Для \(4 < x < 6\): числитель положительный, знаменатель положительный — дробь положительная.
— Для \(x > 6\): числитель отрицательный, знаменатель положительный — дробь отрицательная.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:
\(
(4; 6].
\)

Ответ:
\(
(4; 6].
\)