ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.163 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \((x^2 + 6x)(x^2 — 16) < 0;\)
2) \((x^2 — 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0;\)
3) \(\frac{x^2 — 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0;\)
4) \(\frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 81} < 0.\)

1)
\(
(x^2 + 6x)(x^2 — 16) \leq 0;
\)
\(
(x + 6)(x + 4)(x)(x — 4) \leq 0;
\)
\(
-6 \leq x \leq -4, \quad 0 \leq x \leq 4;
\)
Ответ:
\(
(-6; -4) \cup (0; 4).
\)

2)
\(
(x^2 — 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
\(
(x + 3)(x)(x — 1)(x — 5) > 0;
\)
\(
x < -3, \quad 0 < x < 1, \quad x > 5;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (0; 1) \cup (5; +\infty).
\)

3)
\(
\frac{x^2 — 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\)

1)
\(
(x^2 + 6x)(x^2 — 16) \leq 0.
\)
Сначала найдем корни каждого множителя.

Корни первого множителя:
\(
x^2 + 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = -6.
\)

Корни второго множителя:
\(
x^2 — 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x — 4)(x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4.
\)

Таким образом, у нас есть четыре критических точки: \(x = -6, -4, 0, 4\). Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, -4) \)
3. \( (-4, 0) \)
4. \( (0, 4) \)
5. \( (4, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения на каждом интервале:

— Для \(x < -6\): все множители отрицательные, произведение положительное.
— Для \(-6 < x < -4\): один положительный и три отрицательных, произведение отрицательное.
— Для \(-4 < x < 0\): два положительных и два отрицательных, произведение положительное.
— Для \(0 < x < 4\): три положительных и один отрицательный, произведение отрицательное.
— Для \(x > 4\): все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
\(
(-6; -4) \cup (0; 4).
\)

Ответ:
\(
(-6; -4) \cup (0; 4).
\)

2)
\(
(x^2 — 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0.
\)
Сначала найдем корни каждого множителя.

Корни первого множителя:
\(
x^2 — 6x + 5 = 0.
\)
Дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)

Корни второго множителя:
\(
x^2 + 3x = x(x + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3.
\)

Теперь у нас есть четыре критических точки: \(x = -3, 0, 1, 5\). Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 0) \)
3. \( (0, 1) \)
4. \( (1, 5) \)
5. \( (5, +\infty) \)

Проверим знак произведения на каждом интервале:

— Для \(x < -3\): все множители положительные, произведение положительное.
— Для \(-3 < x < 0\): один положительный и три отрицательных, произведение отрицательное.
— Для \(0 < x < 1\): два положительных и два отрицательных, произведение положительное.
— Для \(1 < x < 5\): три положительных и один отрицательный, произведение отрицательное.
— Для \(x > 5\): все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
\(
(-\infty; -3) \cup (0; 1) \cup (5; +\infty).
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (0; 1) \cup (5; +\infty).
\)

3)
\(
\frac{x^2 — 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0.
\)
Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя:
\(
x^2 — 10x + 9 = (x — 1)(x — 9) = 0.
\)
Корни:
\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 9.
\)

Корни знаменателя:
\(
x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = 0.
\)
Корни:
\(
x_3 = -1, \quad x_4 = -3.
\)

Теперь у нас есть четыре критических точки: \(x = -3, -1, 1, 9\). Разобьем числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, -1) \)
3. \( (-1, 1) \)
4. \( (1, 9) \)
5. \( (9, +\infty) \)

Проверим знак дроби на каждом интервале:

— Для \(x < -3\): числитель и знаменатель отрицательные, дробь положительная.
— Для \(-3 < x < -1\): числитель отрицательный и знаменатель положительный, дробь отрицательная.
— Для \(-1 < x < 1\): числитель отрицательный и знаменатель положительный, дробь отрицательная.
— Для \(1 < x < 9\): числитель положительный и знаменатель положительный, дробь положительная.
— Для \(x > 9\): числитель и знаменатель положительные, дробь положительная.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
\(
(-\infty; -3) \cup (1; 9).
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (1; 9).
\)