Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.164 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
\((x-4)^2 (x^2-8x+12) < 0\);
\((x+2)^2 (x^2+x-20) > 0\);
\((x+5)^2 (x^2+2x-3) > 0\);
\((x-2)^2 (x-3)^4 (x-4)^3 > 0\);
\(\frac{x^2-x-12}{x^2+4x+4} < 0\);
\(\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x-10} > 0\).
1) \((x — 4)^2 (x^2 — 8x + 12) < 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;
\)
\((x — 4)^2 (x — 2)(x — 6) < 0;\)
\(2 < x < 6, \quad x \neq 4;\)
Ответ: \((2; 4) \cup (4; 6).\)
2) \((x + 2)^2 (x^2 + x — 20) \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\)
\((x + 2)^2 (x + 5)(x — 4) \geq 0;\)
\(x \leq -5, \quad x \geq 4, \quad x = -2;\)
Ответ: \((-\infty; -5] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty).\)
3) \((x + 5)^2 (x^2 + 2x — 3) > 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\((x + 5)^2 (x + 3)(x — 1) > 0;\)
\(x < -3, \quad x > 1, \quad x \neq -5;\)
Ответ: \((-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (1; +\infty).\)
4) \((x — 2)^2 (x — 3)^4 (x — 4)^3 \geq 0;\)
\(x \geq 4, \quad x = 2, \quad x = 3;\)
Ответ: \(\{2; 3\} \cup [4; +\infty).\)
5) \(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + 4x + 4} < 0;
\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)
\(
\frac{(x + 3)(x — 4)}{(x + 2)^2} < 0;
\)
\(-3 < x < 4, \quad x \neq -2;\)
Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; 4).\)
6) \(
\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 3x — 10} \geq 0;
\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;
\)
\(
\frac{(x + 3)^2}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0;
\)
\(x \leq -2, \quad x \geq 5, \quad x = 3;\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup \{3\} \cup [5; +\infty).\)
1) Решим неравенство
\(
(x — 4)^2 (x^2 — 8x + 12) < 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,
\)
тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6.
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
(x — 4)^2 (x — 2)(x — 6) < 0.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < 2\)
2. \(2 < x < 6\)
3. \(x > 6\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < 2\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
— Для \(2 < x < 6\): \((x — 4)^2 > 0\), \((x — 2) > 0\), \((x — 6) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(x > 6\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
Таким образом, решение неравенства:
\(
2 < x < 6, \quad x \neq 4.
\)
Ответ:
\(
(2; 4) \cup (4; 6).
\)
2) Решим неравенство
\(
(x + 2)^2 (x^2 + x — 20) \geq 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,
\)
тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4.
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
(x + 2)^2 (x + 5)(x — 4) \geq 0.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < -5\)
2. \(-5 < x < -2\)
3. \(-2 < x < 4\)
4. \(x > 4\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < -5\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
— Для \(-5 < x < -2\): \((x + 2)^2 > 0\), \((x + 5) > 0\), \((x — 4) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(-2 < x < 4\): \((x + 2)^2 > 0\), \((x + 5) > 0\), \((x — 4) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(x > 4\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
Таким образом, решение неравенства:
\(
x \leq -5, \quad x \geq 4, \quad x = -2.
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -5] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty).
\)
3) Решим неравенство
\(
(x + 5)^2 (x^2 + 2x — 3) > 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
(x + 5)^2 (x + 3)(x — 1) > 0.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < -5\)
2. \(-5 < x < -3\)
3. \(-3 < x < 1\)
4. \(x > 1\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < -5\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
— Для \(-5 < x < -3\): \((x + 5)^2 > 0\), \((x + 3) < 0\), \((x — 1) < 0\), следовательно, произведение положительное.
— Для \(-3 < x < 1\): \((x + 5)^2 > 0\), \((x + 3) > 0\), \((x — 1) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(x > 1\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
Таким образом, решение неравенства:
\(
x < -3, \quad x > 1, \quad x \neq -5.
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -5) \cup (-5; -3) \cup (1; +\infty).
\)
4) Решим неравенство
\(
(x — 2)^2 (x — 3)^4 (x — 4)^3 \geq 0;
\)
Определим нули функции:
\(
x = 2, \quad x = 3, \quad x = 4.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < 2\)
2. \(2 \leq x < 3\)
3. \(3 \leq x < 4\)
4. \(x \geq 4\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < 2\): все множители положительные или четные степени, следовательно, произведение положительное.
— Для \(2 \leq x < 3\): \((x — 2)^2 \geq 0\), \((x — 3)^4 > 0\), \((x — 4)^3 < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(3 \leq x < 4\): \((x — 2)^2 > 0\), \((x — 3)^4 = 0\), \((x — 4)^3 < 0\), следовательно, произведение равно нулю.
— Для \(x \geq 4\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
Таким образом, решение неравенства:
\(
x = 2, \quad x = 3, \quad x \geq 4.
\)
Ответ:
\((2; 3) \cup [4; +\infty).\)
5) Решим неравенство
\(
\frac{x^2 — x — 12}{x^2 + 4x + 4} < 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,
\)
тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4.
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
\frac{(x + 3)(x — 4)}{(x + 2)^2} < 0.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < -3\)
2. \(-3 < x < -2\)
3. \(-2 < x < 4\)
4. \(x > 4\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < -3\): числитель отрицательный, знаменатель положительный, следовательно, дробь отрицательная.
— Для \(-3 < x < -2\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
— Для \(-2 < x < 4\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
— Для \(x > 4\): числитель отрицательный, знаменатель положительный, следовательно, дробь отрицательная.
Таким образом, решение неравенства:
\(-3 < x < 4, \quad x \neq -2.\)
Ответ:
\((-3; -2) \cup (-2; 4).\)
6) Решим неравенство
\(
\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 3x — 10} \geq 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49,
\)
тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5.
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
\frac{(x — 3)^2}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0.
\)
Теперь определим интервалы:
1. \(x < -2\)
2. \(-2 < x < 3\)
3. \(3 < x < 5\)
4. \(x > 5\)
Проверим знак на каждом из интервалов:
— Для \(x < -2\): числитель положительный, знаменатель отрицательный, следовательно, дробь отрицательная.
— Для \(-2 < x < 3\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
— Для \(3 < x < 5\): числитель равен нулю, дробь равна нулю.
— Для \(x > 5\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
Таким образом, решение неравенства:
\(x \leq -2, \quad x = 3, \quad x \geq 5.\)
Ответ:
\((-\infty; -2] \cup \{3\} \cup [5; +\infty).\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.