ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.165 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4};\)

2) \(\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2;\)

3) \(\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} > \frac{3}{x};\)

4) \(\frac{7}{x^2-9} — \frac{12}{x^2-4} > 0.\)

1) \(
\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4};
\)
\(
\frac{2(x+3) — (x-4)}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
\frac{2x + 6 — x + 4}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
\frac{x + 10}{(x+3)(x-4)} > 0;
\)
\(
-10 < x < -3, \quad x > 4;
\)
Ответ: \((-10; -3) \cup (4; +\infty)\).

2) \(
\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2;
\)
\(
\frac{2x(x+1) — (x+1)^2 + x(x-1)}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
\frac{2x^2 + 2x — x^2 — 2x — 1 + x^2 — x}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
\frac{2x^2 — x — 1}{x(x+1)} > 0;
\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
\frac{(x + \frac{1}{2})(x — 1)}{x(x+1)} > 0;
\)
\(
x < -1, \quad -\frac{1}{2} < x < 0, \quad x > 1;
\)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup (1; +\infty)\).

3) \(
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{x};
\)
\(
\frac{3(x-2)(x+2) — x(x+2) — x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{3x^2 — 12 — x^2 — 2x — x^2 + 2x}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 12}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
\frac{(x + 2\sqrt{3})(x — 2\sqrt{3})}{x(x+2)(x-2)} \leq 0;
\)
\(
x \leq -2\sqrt{3}, \quad -2 < x < 0, \quad 2 < x \leq 2\sqrt{3};
\)
Ответ: \((-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}]\).

4) \(
\frac{7}{x^2 — 9} — \frac{12}{x^2 — 4} \geq 0;
\)
\(
\frac{7(x^2 — 4) — 12(x^2 — 9)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{7x^2 — 28 — 12x^2 + 108}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{80 — 5x^2}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0;
\)
\(
\frac{5(x^2 — 16)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \leq 0;
\)
\(
\frac{(x+4)(x-4)}{(x+3)(x+2)(x-2)(x-3)} \leq 0;
\)
\(
-4 \leq x < -3, \quad -2 < x < 2, \quad 3 < x \leq 4;
\)
Ответ: \([-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]\).

1) Неравенство:
\(
\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
\frac{1}{x+3} — \frac{2}{x-4} < 0
\)

Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{(x-4) — 2(x+3)}{(x+3)(x-4)} < 0
\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(
\frac{x — 4 — 2x — 6}{(x+3)(x-4)} < 0
\)

Упрощаем числитель:
\(
\frac{-x — 10}{(x+3)(x-4)} < 0
\)

Домножим числитель и знаменатель на -1 (не меняя знака неравенства, так как домножаем на отрицательное число, знак меняется):
\(
\frac{x + 10}{(x+3)(x-4)} > 0
\)

Теперь рассмотрим знак дроби \(\frac{x+10}{(x+3)(x-4)}\).

Нули числителя и знаменателя:
— числитель: \(x = -10\)
— знаменатель: \(x = -3\) и \(x = 4\)

Разобьём числовую ось по этим точкам:
\(
-\infty, -10, -3, 4, +\infty
\)

Проверяем знак выражения на каждом промежутке:

— Для \(x < -10\):
Числитель \(x+10 < 0\), знаменатель:
\((x+3)<0\), \((x-4)<0\) → произведение положительное (минус на минус). Значит дробь отрицательна (отрицательное числитель / положительный знаменатель < 0). Нам нужно > 0, значит не подходит.

— Для \(-10 < x < -3\):
Числитель положительный, знаменатель:
\((x+3)<0\), \((x-4)<0\) → произведение положительное. Значит дробь положительна → подходит.

— Для \(-3 < x < 4\):
Числитель положительный, знаменатель:
\((x+3)>0\), \((x-4)<0\) → произведение отрицательное. Значит дробь отрицательна → не подходит.

— Для \(x > 4\):
Числитель положительный, знаменатель:
\((x+3)>0\), \((x-4)>0\) → произведение положительное. Значит дробь положительна → подходит.

Итог:
\(
(-10, -3) \cup (4, +\infty)
\)

Ответ:
\(
(-10; -3) \cup (4; +\infty)
\)

2) Неравенство:
\(
\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} < 2
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
\frac{x+1}{x} — \frac{x-1}{x+1} — 2 < 0
\)

Приводим к общему знаменателю \(x(x+1)\):
\(
\frac{(x+1)^2 — x(x-1) — 2x(x+1)}{x(x+1)} < 0
\)

Раскроем скобки в числителе:
\(
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
\)
\(
x(x-1) = x^2 — x
\)
\(
2x(x+1) = 2x^2 + 2x
\)

Подставляем:
\(
\frac{x^2 + 2x + 1 — (x^2 — x) — (2x^2 + 2x)}{x(x+1)} < 0
\)

Упрощаем числитель:
\(
x^2 + 2x + 1 — x^2 + x — 2x^2 — 2x = -2x^2 + x + 1
\)

Итого:
\(
\frac{-2x^2 + x + 1}{x(x+1)} < 0
\)

Домножим числитель и знаменатель на -1 (меняем знак неравенства):
\(
\frac{2x^2 — x — 1}{x(x+1)} > 0
\)

Решаем числитель:
\(
2x^2 — x — 1 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1
\)

Знаменатель обращается в ноль при \(x=0\) и \(x=-1\).

Разобьём числовую ось по точкам:
\(
-\infty, -1, -\frac{1}{2}, 0, 1, +\infty
\)

Проверяем знак выражения \(\frac{(x + \frac{1}{2})(x — 1)}{x(x+1)}\) на каждом промежутке:

— \(x < -1\):
Числитель: \((x + \frac{1}{2}) < 0\), \((x — 1) < 0\) → произведение положительное
Знаменатель: \(x < 0\), \(x+1 < 0\) → произведение положительное
Дробь положительна → подходит.

— \(-1 < x < -\frac{1}{2}\):
Числитель: \((x + \frac{1}{2}) < 0\), \((x — 1) < 0\) → произведение положительное
Знаменатель: \(x < 0\), \(x+1 > 0\) → произведение отрицательное
Дробь отрицательна → не подходит.

— \(-\frac{1}{2} < x < 0\):
Числитель: \((x + \frac{1}{2}) > 0\), \((x — 1) < 0\) → произведение отрицательное
Знаменатель: \(x < 0\), \(x+1 > 0\) → произведение отрицательное
Отрицательное / отрицательное = положительное → подходит.

— \(0 < x < 1\):
Числитель: \((x + \frac{1}{2}) > 0\), \((x — 1) < 0\) → произведение отрицательное
Знаменатель: \(x > 0\), \(x+1 > 0\) → произведение положительное
Дробь отрицательна → не подходит.

— \(x > 1\):
Числитель: \((x + \frac{1}{2}) > 0\), \((x — 1) > 0\) → произведение положительное
Знаменатель: \(x > 0\), \(x+1 > 0\) → произведение положительное
Дробь положительна → подходит.

Итог:
\(
(-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup (1; +\infty)
\)

3) Неравенство:
\(
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{x}
\)

Переносим все в одну часть:
\(
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} — \frac{3}{x} \geq 0
\)

Общий знаменатель: \(x(x+2)(x-2)\).

Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{x(x+2) + x(x-2) — 3(x-2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} \geq 0
\)

Раскрываем числитель:
\(
x(x+2) = x^2 + 2x
\)
\(
x(x-2) = x^2 — 2x
\)
\(
(x-2)(x+2) = x^2 — 4
\)

Подставляем:
\(
(x^2 + 2x) + (x^2 — 2x) — 3(x^2 — 4) = x^2 + 2x + x^2 — 2x — 3x^2 + 12 =
\)
\(
= (2x^2 — 3x^2) + (2x — 2x) + 12 = -x^2 + 12
\)

Итог:
\(
\frac{-x^2 + 12}{x(x+2)(x-2)} \geq 0
\)

Домножим числитель и знаменатель на -1 (меняем знак неравенства):
\(
\frac{x^2 — 12}{x(x+2)(x-2)} \leq 0
\)

Раскладываем числитель на множители:
\(
x^2 — 12 = (x — 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})
\)

Знаменатель обращается в ноль при \(x=0\), \(x=-2\), \(x=2\).

Точки критические:
\(
-\infty, -2\sqrt{3}, -2, 0, 2, 2\sqrt{3}, +\infty
\)

Проверяем знак дроби на каждом промежутке:

— \(x < -2\sqrt{3}\):
Числитель: отрицательный
Знаменатель: \(x < -2\) → \(x < 0\), \(x+2 < 0\), \(x-2 < 0\) → произведение: отрицательное * отрицательное * отрицательное = отрицательное
Дробь: отрицательное / отрицательное = положительное
Нужно \(\leq 0\), значит не подходит.

— \(-2\sqrt{3} < x < -2\):
Числитель: положительный
Знаменатель: \(x < 0\), \(x+2 < 0\), \(x-2 < 0\) → произведение отрицательное
Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное
Подходит.

— \(-2 < x < 0\):
Числитель: положительный
Знаменатель: \(x < 0\), \(x+2 > 0\), \(x-2 < 0\) → произведение положительное * отрицательное = отрицательное
Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное
Подходит.

— \(0 < x < 2\):
Числитель: положительный
Знаменатель: \(x > 0\), \(x+2 > 0\), \(x-2 < 0\) → произведение положительное * положительное * отрицательное = отрицательное
Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное
Подходит.

— \(2 < x < 2\sqrt{3}\):
Числитель: отрицательный
Знаменатель: \(x > 0\), \(x+2 > 0\), \(x-2 > 0\) → произведение положительное
Дробь: отрицательное / положительное = отрицательное
Подходит.

— \(x > 2\sqrt{3}\):
Числитель: положительный
Знаменатель: положительный
Дробь: положительная
Нужно \(\leq 0\), не подходит.

Итог:
\(
(-2\sqrt{3}; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 2\sqrt{3}]
\)

Но точки \(x = -2, 0, 2\) исключаем, так как знаменатель равен нулю.

В итоге:
\(
(-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}]
\)

4) Неравенство:
\(
\frac{7}{x^2 — 9} — \frac{12}{x^2 — 4} \geq 0
\)

Общий знаменатель: \((x^2 — 9)(x^2 — 4)\).

Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{7(x^2 — 4) — 12(x^2 — 9)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0
\)

Раскрываем числитель:
\(
7x^2 — 28 — 12x^2 + 108 = -5x^2 + 80
\)

Итог:
\(
\frac{-5x^2 + 80}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \geq 0
\)

Домножим числитель и знаменатель на -1 (меняем знак неравенства):
\(
\frac{5x^2 — 80}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \leq 0
\)

Вынесем 5 за скобки:
\(
\frac{5(x^2 — 16)}{(x^2 — 9)(x^2 — 4)} \leq 0
\)

Раскладываем на множители:
\(
x^2 — 16 = (x-4)(x+4)
\)
\(
x^2 — 9 = (x-3)(x+3)
\)
\(
x^2 — 4 = (x-2)(x+2)
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{(x+4)(x-4)}{(x+3)(x+2)(x-2)(x-3)} \leq 0
\)

Критические точки:
\(
-4, -3, -2, 2, 3, 4
\)

Проверяем знак на промежутках:

— \((-\infty, -4)\)
Все множители отрицательны, число множителей с отрицательным знаком — чётное или нечётное?
Чётное → положительно → не подходит.

— \([-4, -3)\)
Знак меняется, дробь \(\leq 0\) → подходит.

— \((-3, -2)\)
Знак меняется → не подходит.

— \((-2, 2)\)
Знак меняется → подходит.

— \((2, 3)\)
Знак меняется → не подходит.

— \((3, 4]\)
Знак меняется → подходит.

— \((4, +\infty)\)
Положительно → не подходит.

Итог:
\(
[-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]
\)