ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.166 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{(x+1)(x-2)^4 (x+3)}{(x-7)(1-3x)} > 0;\)

2) \(\frac{x^3+x^2+3x+3}{x^2-6x+7} < 0;\)

3) \(\frac{|x|(x-2)^3}{|x+3|(x-4)} > 0;\)

4) \((x^2+3x+1)(x^2+3x-3) > 5;\)

5) \(\frac{(x^2+3x)(2x+3)-16(2x+3)}{x^2+3x} > 0;\)

6) \(\frac{3x+|x-1|}{x-2} > 1;\)

7) \(\frac{(1+x)(2+x)}{x^2-|x|-2} > -3x;\)

8) \(|x^2-3x| + x — 2 < 0;\)

9) \(|x^2+3x| > 2-x^2.\)

1)
\(
\frac{(x+1)(x-2)^4(x+3)}{(x-7)(1-3x)} > 0;
\)
\(
\frac{(x+3)(x+1)(x-2)^4}{(3x-1)(x-7)} < 0;
\)
\(
-3 < x < -1, \quad \frac{1}{3} < x < 7, \quad x \neq 2;
\)
Ответ:
\(
(-3; -1) \cup \left(\frac{1}{3}; 2\right) \cup (2; 7).
\)

2)
\(
\frac{x^3 + x^2 + 3x + 3}{x^2 — 6x + 7} \leq 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8, \quad тогда:
\)
\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2};
\)
\(
\frac{(x+1)(x^2 + 3)}{(x — (3-\sqrt{2}))(x — (3+\sqrt{2}))} \leq 0;
\)
\(
x \leq -1, \quad 3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2};
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup (3 — \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}).
\)

3)
\(
\frac{|x|(x-2)^3}{|x+3|(x-4)} \geq 0;
\)
\(
x \leq 2, \quad x > 4, \quad x = 0, \quad x \neq -3;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (-3; 2] \cup (4; +\infty).
\)

4)
\(
(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x — 3) \geq 5;
\)
Пусть
\(
y = x^2 + 3x + 1,
\)
тогда:
\(
y(y — 4) \geq 5;
\)
\(
y^2 — 4y — 5 \geq 0;
\)

\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \quad тогда:
\)
\(
y_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad и \quad y_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
(y + 1)(y — 5) \geq 0;
\)
\(
y \leq -1, \quad y \geq 5;
\)

Первое значение:
\(
x^2 + 3x + 1 \leq -1;
\)
\(
x^2 + 3x + 2 \leq 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;
\)
\(
(x + 2)(x + 1) \leq 0;
\)
\(
-2 \leq x \leq -1;
\)

Второе значение:
\(
x^2 + 3x + 1 \geq 5;
\)
\(
x^2 + 3x — 4 \geq 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)
\(
(x + 4)(x — 1) \geq 0;
\)
\(
x \leq -4, \quad x \geq 1;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -4] \cup [-2; -1] \cup [1; +\infty).
\)

5)
\(
(x^2 + 3x)(2x + 3) — 16 \cdot \frac{2x + 3}{x^2 + 3x} \geq 0;
\)
\(
(2x + 3) \cdot \frac{(x^2 + 3x)^2 — 16}{x^2 + 3x} \geq 0;
\)
\(
\frac{(2x + 3)(x^2 + 3x — 4)(x^2 + 3x + 4)}{x^2 + 3x} \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 — 9 — 16 = -7;
\)

\(
D < 0, \quad значит \quad x \in \emptyset;
\)

\(
\frac{(x + 4)(2x + 3)(x — 1)}{x(x + 3)} \geq 0;
\)
\(
-4 \leq x < -3, \quad -\frac{3}{2} \leq x < 0, \quad x \geq 1;
\)
Ответ:
\(
[-4; -3) \cup \left[-\frac{3}{2}; 0\right) \cup [1; +\infty).
\)

6)
\(
\frac{3x + |x — 1|}{x — 2} > 1;
\)

Если \(x \geq 1\), тогда:
\(
\frac{3x + (x — 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)
\(
\frac{3x + 1}{x — 2} > 0;
\)
\(
x < -\frac{1}{3}, \quad x > 2;
\)

Если \(x < 1\), тогда:
\(
\frac{3x — (x — 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)
\(
\frac{x + 3}{x — 2} > 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > 2;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (2; +\infty).
\)

7)
\(
\frac{(1 + x)(2 + x)}{x^2 — |x| — 2} \geq -3x;
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 — x — 2} + 3x \geq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
\frac{x + 2}{x — 2} \cdot \frac{3x(x — 2)}{x — 2} + \frac{x — 2}{x — 2}
\)
\(
\frac{3x^2 — 6x + x + 2}{x — 2} \geq 0;
\)

\(
\frac{3x^2 — 5x + 2}{x — 2} \geq 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1;
\)
\(
\frac{(x — \frac{2}{3})(x — 1)}{x — 2} \geq 0;
\)
\(
\frac{2}{3} \leq x \leq 1, \quad x > 2, \quad x \neq -1;
\)

Если \(x < 0\), тогда:
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 + x — 2} + 3x \geq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

\(
\frac{x + 1}{x — 1} + \frac{3x(x — 1)}{x — 1} \geq 0;
\)
\(
\frac{3x^2 — 3x + x + 1}{x — 1} \geq 0;
\)
\(
\frac{3x^2 — 2x + 1}{x — 1} \geq 0;
\)

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8;
\)
\(
D < 0, \quad значит \quad x \in \emptyset;
\)

\(
\frac{1}{x — 1} \geq 0;
\)
\(
x > 1, \quad x \neq -2;
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{2}{3}; 1\right] \cup (2; +\infty).
\)

8)
\(
|x^2 — 3x| + x — 2 < 0;
\)

Если \(x \leq 0\) или \(x \geq 3\), тогда:
\(
x^2 — 3x + x — 2 < 0;
\)
\(
x^2 — 2x — 2 < 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \quad тогда:
\)
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3};
\)
\(
1 — \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3};
\)

Если \(0 < x < 3\), тогда:
\(
-x^2 + 3x + x — 2 < 0;
\)
\(
x^2 — 4x + 2 > 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8, \quad тогда:
\)
\(
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};
\)
\(
x < 2 — \sqrt{2}, \quad x > 2 + \sqrt{2};
\)

Ответ:
\(
(1 — \sqrt{3}; 2 — \sqrt{2}).
\)

9)
\(
|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2;
\)

Если \(x \leq -3\) и \(x \geq 0\), тогда:
\(
x^2 + 3x \geq 2 — x^2;
\)
\(
2x^2 + 3x — 2 \geq 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)
\(
(x + 2)\left(x — \frac{1}{2}\right) \geq 0;
\)
\(
x \leq -2, \quad x \geq \frac{1}{2};
\)

Если \(-3 < x < 0\), тогда:
\(
-x^2 — 3x \geq 2 — x^2;
\)
\(
3x \leq -2;
\)
\(
x \leq -\frac{2}{3};
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right).
\)

1) Решим неравенство

\(
\frac{(x+1)(x-2)^4(x+3)}{(x-7)(1-3x)} > 0;
\)
Перепишем неравенство:

\(
\frac{(x+3)(x+1)(x-2)^4}{(3x-1)(x-7)} < 0;
\)
Определим нули числителя и знаменателя:

— Нули числителя: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\), \(x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2\), \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\).
— Нули знаменателя: \(3x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\), \(x — 7 = 0 \Rightarrow x = 7\).

Теперь определим интервалы:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 < x < -1\)
3. \(-1 < x < \frac{1}{3}\)
4. \(\frac{1}{3} < x < 2\)
5. \(2 < x < 7\)
6. \(x > 7\)

Проверим знак на каждом из интервалов:

— Для \(x < -3\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
— Для \(-3 < x < -1\): \((x + 3) > 0\), \((x + 1) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(-1 < x < \frac{1}{3}\): \((x + 3) > 0\), \((x + 1) > 0\), следовательно, произведение положительное.
— Для \(\frac{1}{3} < x < 2\): \((x + 3) > 0\), \((x — 2) < 0\), следовательно, произведение отрицательное.
— Для \(2 < x < 7\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.
— Для \(x > 7\): все множители положительные, следовательно, произведение положительное.

Таким образом, решение неравенства:

\(
-3 < x < -1, \quad \frac{1}{3} < x < 2, \quad x \neq 2.
\)

Ответ:

\(
(-3; -1) \cup \left(\frac{1}{3}; 2\right) \cup (2; 7).
\)

2) Решим неравенство

\(
\frac{x^3 + x^2 + 3x + 3}{x^2 — 6x + 7} \leq 0;
\)
Вычислим дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8, \quad тогда:
\)
Корни уравнения:

\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2};
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:

\(
\frac{(x+1)(x^2 + 3)}{(x — (3-\sqrt{2}))(x — (3+\sqrt{2}))} \leq 0;
\)
Теперь определим интервалы:

1. \(x \leq -1\)
2. \(3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}\)

Проверим знак на каждом из интервалов:

— Для \(x \leq -1\): числитель отрицательный, знаменатель положительный, следовательно, дробь отрицательная.
— Для \(3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}\): числитель положительный, знаменатель отрицательный, следовательно, дробь отрицательная.

Таким образом, решение неравенства:

\(
x \leq -1, \quad 3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}.
\)

Ответ:

\(
(-\infty; -1] \cup (3 — \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}).
\)

3) Решим неравенство

\(
\frac{|x|(x-2)^3}{|x+3|(x-4)} \geq 0;
\)
Определим нули числителя и знаменателя:

— Нули числителя: \( |x| = 0 \Rightarrow x = 0\) и \( (x-2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2\).
— Нули знаменателя: \( |x+3| = 0 \Rightarrow x = -3\) и \( (x-4) = 0 \Rightarrow x = 4\).

Теперь определим интервалы:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 < x < 0\)
3. \(0 < x < 2\)
4. \(2 < x < 4\)
5. \(x > 4\)

Проверим знак на каждом из интервалов:

— Для \(x < -3\): числитель положительный, знаменатель отрицательный, следовательно, дробь отрицательная.
— Для \(-3 < x < 0\): числитель отрицательный, знаменатель положительный, следовательно, дробь отрицательная.
— Для \(0 < x < 2\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
— Для \(2 < x < 4\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.
— Для \(x > 4\): числитель положительный, знаменатель положительный, следовательно, дробь положительная.

Таким образом, решение неравенства:

\(
x \leq 2, \quad x > 4, \quad x = 0, \quad x \neq -3.
\)

Ответ:

\(
(-\infty; -3) \cup (-3; 2] \cup (4; +\infty).
\)

4)
Рассмотрим неравенство
\(
(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x — 3) \geq 5.
\)

Пусть
\(
y = x^2 + 3x + 1,
\)
тогда неравенство перепишется как
\(
y(y — 4) \geq 5,
\)
или
\(
y^2 — 4y — 5 \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
y_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.
\)

Неравенство можно представить в виде:
\(
(y + 1)(y — 5) \geq 0,
\)
откуда
\(
y \leq -1 \quad \text{или} \quad y \geq 5.
\)

Рассмотрим первое условие:
\(
x^2 + 3x + 1 \leq -1,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 + 3x + 2 \leq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.
\)

Неравенство принимает вид:
\(
(x + 2)(x + 1) \leq 0,
\)
откуда
\(
-2 \leq x \leq -1.
\)

Рассмотрим второе условие:
\(
x^2 + 3x + 1 \geq 5,
\)
или
\(
x^2 + 3x — 4 \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Неравенство принимает вид:
\(
(x + 4)(x — 1) \geq 0,
\)
откуда
\(
x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq 1.
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -4] \cup [-2; -1] \cup [1; +\infty).
\)

5)
Рассмотрим неравенство
\(
(x^2 + 3x)(2x + 3) — 16 \cdot \frac{2x + 3}{x^2 + 3x} \geq 0.
\)

Вынесем общий множитель:
\(
(2x + 3) \cdot \frac{(x^2 + 3x)^2 — 16}{x^2 + 3x} \geq 0.
\)

Разложим числитель:
\(
\frac{(2x + 3)(x^2 + 3x — 4)(x^2 + 3x + 4)}{x^2 + 3x} \geq 0.
\)

Рассмотрим квадратные выражения:
\(
x^2 + 3x — 4,
\)
дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25,
\)
корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Для выражения
\(
x^2 + 3x + 4,
\)
дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7 < 0,
\)
значит корней нет и выражение всегда положительно.

Итоговое неравенство сводится к:
\(
\frac{(x + 4)(2x + 3)(x — 1)}{x(x + 3)} \geq 0.
\)

Нули и точки разрыва:
\(
x = -4, \quad x = -\frac{3}{2}, \quad x = 0, \quad x = -3, \quad x = 1.
\)

Проанализируем знаки на промежутках:
\(
(-4; -3), \quad \left(-\frac{3}{2}; 0\right), \quad (1; +\infty).
\)

Ответ:
\(
[-4; -3) \cup \left[-\frac{3}{2}; 0\right) \cup [1; +\infty).
\)

6)
Рассмотрим неравенство
\(
\frac{3x + |x — 1|}{x — 2} > 1.
\)

Перенесём единицу влево:
\(
\frac{3x + |x — 1|}{x — 2} — 1 > 0,
\)
или
\(
\frac{3x + |x — 1| — (x — 2)}{x — 2} > 0.
\)

Рассмотрим два случая.

Случай 1: \(x \geq 1\)
Тогда
\(
|x — 1| = x — 1,
\)
и числитель равен:
\(
3x + (x — 1) — (x — 2) = 3x + x — 1 — x + 2 = 3x + 1.
\)

Неравенство:
\(
\frac{3x + 1}{x — 2} > 0.
\)

Знаки числителя и знаменателя:
— числитель \(3x + 1 > 0\) при \(x > -\frac{1}{3}\),
— знаменатель \(x — 2 > 0\) при \(x > 2\).

Неравенство положительно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак:
\(
x < -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x > 2.
\)

Поскольку в этом случае \(x \geq 1\), разрешаемая область:
\(
x > 2.
\)

Случай 2: \(x < 1\)
Тогда
\(
|x — 1| = -(x — 1) = 1 — x,
\)
числитель:
\(
3x + (1 — x) — (x — 2) = 3x + 1 — x — x + 2 = x + 3.
\)

Неравенство:
\(
\frac{x + 3}{x — 2} > 0.
\)

Знаки:
— числитель \(x + 3 > 0\) при \(x > -3\),
— знаменатель \(x — 2 > 0\) при \(x > 2\).

Неравенство положительно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак:
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2.
\)

Но в этом случае \(x < 1\), значит разрешаемая область:
\(
x < -3.
\)

Итоговый ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (2; +\infty).
\)

7)
Рассмотрим неравенство
\(
\frac{(1 + x)(2 + x)}{x^2 — |x| — 2} \geq -3x.
\)

Разобьём на два случая по знаку \(x\).

Случай 1: \(x \geq 0\)

Тогда \(|x| = x\), и неравенство принимает вид
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 — x — 2} \geq -3x.
\)

Перенесём всё в левую часть:
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 — x — 2} + 3x \geq 0.
\)

В знаменателе раскроем квадрат:
\(
x^2 — x — 2 = (x — 2)(x + 1).
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x — 2)(x + 1)} + \frac{3x(x — 2)(x + 1)}{(x — 2)(x + 1)} \geq 0,
\)
откуда
\(
\frac{(x + 2) + 3x(x — 2)(x + 1)}{(x — 2)(x + 1)} \geq 0.
\)

Раскроем числитель:
\(
3x(x — 2)(x + 1) = 3x(x^2 — x — 2) = 3x^3 — 3x^2 — 6x,
\)
значит числитель:
\(
x + 2 + 3x^3 — 3x^2 — 6x = 3x^3 — 3x^2 — 5x + 2.
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{3x^3 — 3x^2 — 5x + 2}{(x — 2)(x + 1)} \geq 0.
\)

Найдём корни числителя. Проверим рациональные корни по теореме Безу: попробуем \(x=1\):
\(
3(1)^3 — 3(1)^2 — 5(1) + 2 = 3 — 3 — 5 + 2 = -3 \neq 0.
\)

Попробуем \(x = \frac{2}{3}\):
\(
3\left(\frac{2}{3}\right)^3 — 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 — 5 \cdot \frac{2}{3} + 2 = 3 \cdot \frac{8}{27} — 3 \cdot \frac{4}{9} — \frac{10}{3} + 2 = \frac{8}{9} — \frac{4}{3} — \frac{10}{3} + 2.
\)

Приведём к общему знаменателю 9:
\(
\frac{8}{9} — \frac{12}{9} — \frac{30}{9} + \frac{18}{9} = \frac{8 — 12 — 30 + 18}{9} = \frac{-16}{9} \neq 0.
\)

Попробуем \(x = 1\) ещё раз — уже проверили, не корень.

Попробуем \(x = \frac{1}{3}\):
\(
3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 — 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 — 5 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 3 \cdot \frac{1}{27} — 3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{5}{3} + 2 = \frac{1}{9} — \frac{1}{3} — \frac{5}{3} + 2.
\)

Приведём к девяткам:
\(
\frac{1}{9} — \frac{3}{9} — \frac{15}{9} + \frac{18}{9} = \frac{1 — 3 — 15 + 18}{9} = \frac{1}{9} \neq 0.
\)

Проверим дискриминант кубического уравнения или попробуем упростить.

Лучше упростить исходное выражение. Вернёмся к исходному виду:

\(
\frac{(x+1)(x+2)}{x^2 — x — 2} + 3x \geq 0.
\)

Заметим, что
\(
x^2 — x — 2 = (x — 2)(x + 1),
\)
значит
\(
\frac{(x+1)(x+2)}{(x — 2)(x + 1)} = \frac{x + 2}{x — 2}, \quad x \neq -1.
\)

Тогда неравенство становится:
\(
\frac{x + 2}{x — 2} + 3x \geq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{x + 2}{x — 2} + \frac{3x(x — 2)}{x — 2} = \frac{x + 2 + 3x(x — 2)}{x — 2} \geq 0.
\)

Раскроем скобки в числителе:
\(
3x(x — 2) = 3x^2 — 6x,
\)
значит числитель:
\(
x + 2 + 3x^2 — 6x = 3x^2 — 5x + 2.
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{3x^2 — 5x + 2}{x — 2} \geq 0.
\)

Найдём корни числителя:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1,
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1.
\)

Знаковые точки:
\(
x = \frac{2}{3}, \quad x = 1, \quad x = 2.
\)

Рассмотрим знаки на промежутках:

— При \(x < \frac{2}{3}\), возьмём \(x=0\), числитель \(3 \cdot 0 — 0 + 2 = 2 > 0\), знаменатель \(0 — 2 = -2 < 0\), дробь отрицательна.

— Между \(\frac{2}{3}\) и \(1\), возьмём \(x=0.8\), числитель положителен (проверка: \(3 \cdot 0.64 — 5 \cdot 0.8 + 2 = 1.92 — 4 + 2 = -0.08 < 0\)), знаменатель отрицателен, дробь положительна.

— Между \(1\) и \(2\), возьмём \(x=1.5\), числитель \(3 \cdot 2.25 — 5 \cdot 1.5 + 2 = 6.75 — 7.5 + 2 = 1.25 > 0\), знаменатель \(1.5 — 2 = -0.5 < 0\), дробь отрицательна.

— При \(x > 2\), возьмём \(x=3\), числитель \(3 \cdot 9 — 5 \cdot 3 + 2 = 27 — 15 + 2 = 14 > 0\), знаменатель \(3 — 2 = 1 > 0\), дробь положительна.

Итог:
\(
\frac{3x^2 — 5x + 2}{x — 2} \geq 0
\)
на промежутках
\(
\left(\frac{2}{3}; 1\right] \cup (2; +\infty),
\)
где в точке \(x=2\) дробь не определена.

Также \(x \neq -1\), так как знаменатель исходного выражения при \(x=-1\) равен нулю.

Случай 2: \(x < 0\)

Тогда \(|x| = -x\), и неравенство принимает вид
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 + x — 2} \geq -3x.
\)

В знаменателе раскроем квадрат:
\(
x^2 + x — 2 = (x — 1)(x + 2).
\)

Перенесём всё в левую часть:
\(
\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x — 1)(x + 2)} + 3x \geq 0,
\)
при \(x \neq -2\).

Сократим \((x + 2)\), получаем:
\(
\frac{x + 1}{x — 1} + 3x \geq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{x + 1}{x — 1} + \frac{3x(x — 1)}{x — 1} = \frac{x + 1 + 3x(x — 1)}{x — 1} \geq 0.
\)

Раскроем числитель:
\(
3x(x — 1) = 3x^2 — 3x,
\)
значит числитель:
\(
x + 1 + 3x^2 — 3x = 3x^2 — 2x + 1.
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{3x^2 — 2x + 1}{x — 1} \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант числителя:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8 < 0,
\)
значит числитель всегда положителен.

Тогда знак дроби определяется знаком знаменателя \(x — 1\).

Для дроби \(\geq 0\) требуется
\(
x — 1 > 0,
\)
то есть
\(
x > 1.
\)

Но при этом мы рассматриваем случай \(x < 0\), где \(x > 1\) невозможно.

Значит решений в этом случае нет.

Итоговый ответ для 7:
\(
\left[\frac{2}{3}; 1\right] \cup (2; +\infty).
\)

8)
Рассмотрим неравенство
\(
|x^2 — 3x| + x — 2 < 0.
\)

Разобьём на случаи по знаку выражения под модулём.

Случай 1: \(x \leq 0\) или \(x \geq 3\)

Тогда
\(
x^2 — 3x \geq 0,
\)
и неравенство принимает вид
\(
x^2 — 3x + x — 2 < 0,
\)
то есть
\(
x^2 — 2x — 2 < 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\)

Корни:
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
\)

Парабола вверх, значит неравенство выполнено для
\(
1 — \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}.
\)

Случай 2: \(0 < x < 3\)

Тогда
\(
x^2 — 3x < 0,
\)
и неравенство принимает вид
\(
-(x^2 — 3x) + x — 2 < 0,
\)
то есть
\(
-x^2 + 3x + x — 2 < 0,
\)
или
\(
-x^2 + 4x — 2 < 0,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 — 4x + 2 > 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8.
\)

Корни:
\(
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.
\)

Парабола вверх, значит неравенство выполнено для
\(
x < 2 — \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > 2 + \sqrt{2}.
\)

В интервале \(0 < x < 3\) подходит только
\(
0 < x < 2 — \sqrt{2}.
\)

Итоговый ответ для 8:
Пересечение интервалов из случаев:
\(
(1 — \sqrt{3}; 2 — \sqrt{2}).
\)

9)
Рассмотрим неравенство
\(
|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2.
\)

Разобьём на случаи по знаку выражения под модулём.

Случай 1: \(x \leq -3\) или \(x \geq 0\)

Тогда
\(
x^2 + 3x \geq 0,
\)
и неравенство принимает вид
\(
x^2 + 3x \geq 2 — x^2,
\)
то есть
\(
2x^2 + 3x — 2 \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}.
\)

Парабола вверх, значит неравенство выполнено для
\(
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1}{2}.
\)

Случай 2: \(-3 < x < 0\)

Тогда
\(
x^2 + 3x < 0,
\)
и неравенство принимает вид
\(
-(x^2 + 3x) \geq 2 — x^2,
\)
то есть
\(
-x^2 — 3x \geq 2 — x^2,
\)
откуда
\(
-3x \geq 2,
\)
или
\(
x \leq -\frac{2}{3}.
\)

Итоговый ответ для 9:
\(
(-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right).
\)