ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.167 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{x^3 + 2x^2 + 5x + 10}{x^2 — x — 6} < 0\)

2) \((x^2 — x — 1)(x^2 — x — 7) < -5\)

3) \((x^2 — 2x)(2x — 2) — \frac{9 \cdot (2x — 2)}{x^2 — 2x} < 0\)

4) \(\frac{2x + |x + 1|}{x — 2} > 1\)

5) \(\frac{4}{|x + 3| — 1} > |x + 2|\)

6) \(\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 + |x| — 2} > -2x\)

7) \(|x^2 — 2x — 3| < 3x — 3\)

8) \(|x^2 + 4x + 3| > x + 3\)

1) \(
\frac{x^3 + 2x^2 + 5x + 10}{x^2 — x — 6} \leq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

\(
\frac{(x+2)(x^2 + 5)}{(x+2)(x-3)} \leq 0;
\)

\(
x < 3, \quad x \neq -2;
\)

Ответ: \((-\infty; -2) \cup (-2; 3)\).

2) \(
(x^2 — x — 1)(x^2 — x — 7) < -5;
\)

Пусть \(y = x^2 — x — 1\), тогда:

\(
y(y — 6) < -5;
\)

\(
y^2 — 6y + 5 < 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)

тогда

\(
y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)

\(
(y — 1)(y — 5) < 0;
\)

\(
1 < y < 5;
\)

Первое значение:

\(
x^2 — x — 1 > 1;
\)

\(
x^2 — x — 2 > 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
(x+1)(x-2) > 0;
\)

\(
x < -1, \quad x > 2;
\)

Второе значение:

\(
x^2 — x — 1 < 5;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

\(
(x+2)(x-3) < 0;
\)

\(
-2 < x < 3;
\)

Ответ: \((-2; -1) \cup (2; 3)\).

3) \(
(x^2 — 2x)(2x — 2) — 9 \cdot \frac{2x — 2}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

\(
(2x — 2) \cdot \frac{(x^2 — 2x)^2 — 9}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

\(
\frac{(2x — 2)(x^2 — 2x — 3)(x^2 — 2x + 3)}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

\(
\frac{2(x+1)(x-1)(x-3)}{x(x-2)} \leq 0;
\)

\(
x \leq -1, \quad 0 < x \leq 1, \quad 2 < x \leq 3;
\)

Ответ: \((-\infty; -1] \cup (0; 1] \cup (2; 3]\).

4) \(
\frac{2x + |x + 1|}{x — 2} > 1;
\)

Если \(x \geq -1\), тогда:

\(
\frac{2x + (x + 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)

\(
\frac{2x + 3}{x — 2} > 0;
\)

\(
x > -\frac{3}{2}, \quad x > 2;
\)

Если \(x < -1\), тогда:

\(
\frac{2x — (x + 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)

\(
\frac{1}{x — 2} > 0;
\)

\(
x > 2;
\)

Ответ: \((2; +\infty)\).

5) \(
\frac{4}{|x + 3| — 1} \geq |x + 2|;
\)

Если \(x \geq -2\), тогда:

\(
\frac{4}{(x + 3) — 1} \geq x + 2;
\)

\(
\frac{4}{x + 2} — (x + 2) \leq 0;
\)

\(
\frac{(x + 2)^2 — 4}{x + 2} \leq 0;
\)

\(
\frac{(x + 2 — 2)(x + 2 + 2)}{x + 2} \leq 0;
\)

\(
\frac{x(x + 4)}{x + 2} \leq 0;
\)

\(
x \leq -4, \quad -2 < x \leq 0;
\)

Если \(-3 \leq x < -2\), тогда:

\(
\frac{4}{(x + 3) — 1} \geq -(x + 2);
\)

\(
\frac{4 + (x + 2)^2}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
\frac{x^2 + 4x + 8}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 8 = 16 — 32 = -16;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

\(
\frac{1}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
x > -2;
\)

Если \(x < -3\), тогда:

\(
\frac{4}{-(x + 3) — 1} \geq -(x + 2);
\)

\(
\frac{4}{x + 4} \leq x + 2;
\)

\(
\frac{(x + 2)(x + 4) — 4}{x + 4} \geq 0;
\)

\(
\frac{x^2 + 4x + 2x + 8 — 4}{x + 4} \geq 0;
\)

\(
\frac{x^2 + 6x + 4}{x + 4} \geq 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5};
\)

\(
\frac{(x — (-3 — \sqrt{5}))(x — (-3 + \sqrt{5}))}{x + 4} \geq 0;
\)

\(
-3 — \sqrt{5} \leq x < -4, \quad x \geq -3 + \sqrt{5};
\)

Ответ: \([-3 — \sqrt{5}; -4) \cup (-2; 0]\).

6) \(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 + |x| — 2} \geq -2x;
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:

\(
\frac{(x — 1)(x — 2)}{x^2 + x — 2} + 2x \geq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

\(
\frac{x — 2}{x + 2} + \frac{2x(x + 2)}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
\frac{2x^2 + 4x + x — 2}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
\frac{2x^2 + 5x — 2}{x + 2} \geq 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 + 16 = 41, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4};
\)

\(
— \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \leq x < -2, \quad x \geq \frac{-5 + \sqrt{41}}{4};
\)

Если \(x < 0\), тогда:

\(
(x — 1)(x — 2) + 2x \geq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
\frac{x — 1}{x + 1} + \frac{2x(x + 1)}{x + 1} \geq 0;
\)

\(
\frac{2x^2 + 2x + x — 1}{x + 1} \geq 0;
\)

\(
\frac{2x^2 + 3x — 1}{x + 1} \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4};
\)

\(
— \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < -1, \quad x \geq \frac{-3 + \sqrt{17}}{4};
\)

Ответ:
\(
\left[-\frac{3 — \sqrt{17}}{4}; -1 \right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}; +\infty \right).
\)

7) \(
|x^2 — 2x — 3| < 3x — 3;
\)

Под знаком модуля:

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Если \(x \leq -1\) и \(x \geq 3\), тогда:

\(
x^2 — 2x — 3 < 3x — 3;
\)

\(
x^2 — 5x < 0;
\)

\(
x(x — 5) < 0;
\)

Если \(-1 < x < 3\), тогда:

\(
-x^2 + 2x + 3 < 3x — 3;
\)

\(
x^2 + x — 6 > 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

\(
(x + 3)(x — 2) > 0;
\)

\(
x < -3, \quad x > 2;
\)

Ответ: \((2; 5)\).

8) \(
|x^2 + 4x + 3| > x + 3;
\)

Под знаком модуля:

\(
x^2 + 4x + 3 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)

Если \(x \leq -3\) и \(x \geq -1\), тогда:

\(
x^2 + 4x + 3 > x + 3;
\)

\(
x^2 + 3x > 0;
\)

\(
x(x + 3) > 0;
\)

\(
x < -3, \quad x > 0;
\)

Если \(-3 < x < -1\), тогда:

\(
-x^2 — 4x — 3 > x + 3;
\)

\(
x^2 + 5x + 6 < 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;
\)

\(
(x + 3)(x + 2) < 0;
\)

\(
-3 < x < -2;
\)

Ответ: \((-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)\).

1)

Решим неравенство:

\(
\frac{x^3 + 2x^2 + 5x + 10}{x^2 — x — 6} \leq 0;
\)

Сначала найдем дискриминант для знаменателя:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

тогда корни будут:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

Теперь мы можем разложить дробь:

\(
\frac{(x+2)(x^2 + 5)}{(x+2)(x-3)} \leq 0.
\)

Упрощаем выражение, учитывая, что \(x \neq -2\):

\(
\frac{x^2 + 5}{x — 3} \leq 0.
\)

Теперь рассмотрим знак дроби. Мы видим, что \(x^2 + 5 > 0\) для всех \(x\), следовательно, знак выражения зависит только от знака знаменателя:

\(
x < 3, \quad x \neq -2.
\)

Таким образом, ответ будет:

\(
(-\infty; -2) \cup (-2; 3).
\)

2)

Решим неравенство:

\(
(x^2 — x — 1)(x^2 — x — 7) < -5.
\)

Пусть \(y = x^2 — x — 1\), тогда неравенство можно записать как:

\(
y(y — 6) < -5.
\)

Перепишем его в виде:

\(
y^2 — 6y + 5 < 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)

тогда корни будут:

\(
y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)

Теперь решим неравенство:

\(
(y — 1)(y — 5) < 0.
\)

Это неравенство выполняется при:

\(
1 < y < 5.
\)

Теперь рассмотрим два случая.

Первое значение:

Решим неравенство:

\(
x^2 — x — 1 > 1.
\)

Это можно записать как:

\(
x^2 — x — 2 > 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда корни будут:

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Решаем неравенство:

\(
(x + 1)(x — 2) > 0.
\)

Это неравенство выполняется при:

\(
x < -1, \quad x > 2.
\)

Второе значение:

Решим неравенство:

\(
x^2 — x — 1 < 5.
\)

Это можно записать как:

\(
x^2 — x — 6 < 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)

корни будут:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)

Решаем неравенство:

\(
(x + 2)(x — 3) < 0.
\)

Это неравенство выполняется при:

\(
-2 < x < 3.
\)

Объединяя результаты, получаем ответ:

\(
(-2; -1) \cup (2; 3).
\)

3)

Решим неравенство:

\(
(x^2 — 2x)(2x — 2) — 9 \cdot \frac{2x — 2}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

Сначала преобразуем его:

\(
(2x — 2) \cdot \frac{(x^2 — 2x)^2 — 9}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

Теперь упростим дробь:

\(
\frac{(2x — 2)(x^2 — 2x — 3)(x^2 — 2x + 3)}{x^2 — 2x} \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для корней:

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)

Корни будут:

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Теперь найдем дискриминант для второго множителя:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8;
\)

Так как \(D < 0\), значит \(x \in \emptyset\).

Теперь рассмотрим следующую часть:

\(
\frac{2(x+1)(x-1)(x-3)}{x(x-2)} \leq 0;
\)

Решим это неравенство. Мы видим, что корни находятся в точках:

\(
x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3, \quad x = 0, \quad x = 2.
\)

Теперь определим знаки на интервалах:

1. Для \(x < -1\): все множители положительные, следовательно, дробь положительна.
2. На интервале \((-1; 0)\): первый множитель отрицательный, дробь отрицательна.
3. На интервале \((0; 1)\): первый множитель положительный, второй отрицательный, дробь отрицательна.
4. На интервале \((1; 2)\): первый и второй множители положительные, дробь положительна.
5. На интервале \((2; 3)\): первый и второй множители положительные, третий отрицательный, дробь отрицательна.
6. Для \(x > 3\): все множители положительные, дробь положительна.

Таким образом, решения будут:

\(
(-\infty; -1] \cup (0; 1] \cup (2; 3].
\)

4)

Решим неравенство:

\(
\frac{2x + |x + 1|}{x — 2} > 1;
\)

Рассмотрим два случая в зависимости от значения \(x\).

Если \(x \geq -1\), тогда модуль раскрывается так:

\(
|x + 1| = x + 1.
\)

Подставляем это в неравенство:

\(
\frac{2x + (x + 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)

Упрощаем:

\(
\frac{2x + x + 1 — x + 2}{x — 2} > 0;
\)

Это приводит к:

\(
\frac{2x + 3}{x — 2} > 0;
\)

Теперь определяем знаки. Для этого находим нули числителя и знаменателя:

Числитель равен нулю при:

\(
2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}.
\)

Знаменатель равен нулю при:

\(
x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2.
\)

Теперь рассматриваем интервалы:

1. Для \(x < -\frac{3}{2}\): дробь отрицательна.
2. На интервале \((- \frac{3}{2}; 2)\): дробь положительна.
3. Для \(x > 2\): дробь положительна.

Таким образом, решения для этого случая:

\(
x > -\frac{3}{2}, \quad x > 2.
\)

Теперь рассмотрим второй случай, когда \(x < -1\):

В этом случае модуль раскрывается так:

\(
|x + 1| = -(x + 1).
\)

Подставляем это в неравенство:

\(
\frac{2x — (x + 1) — (x — 2)}{x — 2} > 0;
\)

Упрощаем:

\(
\frac{2x — x — 1 — x + 2}{x — 2} > 0;
\)

Это приводит к:

\(
\frac{1}{x — 2} > 0;
\)

Здесь дробь положительна при \(x > 2\), но так как мы рассматриваем случай \(x < -1\), здесь нет решений.

Таким образом, окончательный ответ для данного неравенства будет:

\(
(2; +\infty).
\)

5) Рассмотрим неравенство

\(
\frac{4}{|x + 3| — 1} \geq |x + 2|.
\)

Разобьем на случаи в зависимости от знака выражения под модулем.

Если \(x \geq -2\), тогда

\(
|x + 2| = x + 2,
\)

и

\(
|x + 3| = x + 3,
\)

поэтому неравенство принимает вид

\(
\frac{4}{(x + 3) — 1} \geq x + 2,
\)

то есть

\(
\frac{4}{x + 2} \geq x + 2.
\)

Перенесем все в одну сторону:

\(
\frac{4}{x + 2} — (x + 2) \leq 0.
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
\frac{4 — (x + 2)^2}{x + 2} \leq 0.
\)

Раскроем квадрат:

\(
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4,
\)

тогда числитель:

\(
4 — (x^2 + 4x + 4) = -x^2 — 4x.
\)

Заменим знак, чтобы удобнее было решать:

\(
\frac{-(x^2 + 4x)}{x + 2} \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{x^2 + 4x}{x + 2} \geq 0.
\)

Вынесем общий множитель в числителе:

\(
\frac{x(x + 4)}{x + 2} \geq 0.
\)

Найдём нули числителя и знаменателя:

— числитель равен нулю при \(x = 0\) и \(x = -4\),
— знаменатель равен нулю при \(x = -2\).

Проверим знаки на промежутках, учитывая, что \(x \geq -2\):

— При \(x > 0\) числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
— При \(-2 < x < 0\) числитель отрицателен (так как \(x < 0\)), знаменатель положителен, дробь отрицательна.
— При \(x = 0\) дробь равна нулю.

Итог для \(x \geq -2\):

\(
x \geq 0.
\)

Однако изначально мы рассматривали случай \(x \geq -2\), следовательно, из этого случая решение:

\(
x \geq 0.
\)

Если \(-3 \leq x < -2\), тогда

\(
|x + 3| = x + 3,
\)

а

\(
|x + 2| = -(x + 2),
\)

так как \(x + 2 < 0\).

Тогда неравенство:

\(
\frac{4}{(x + 3) — 1} \geq -(x + 2),
\)

или

\(
\frac{4}{x + 2} \geq -(x + 2).
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
\frac{4}{x + 2} + (x + 2) \geq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{4 + (x + 2)^2}{x + 2} \geq 0.
\)

Раскроем квадрат:

\(
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4,
\)

тогда числитель:

\(
4 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 8.
\)

Дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 — 32 = -16 < 0,
\)

значит числитель всегда положителен.

Поскольку знаменатель \(x + 2 < 0\) (так как \(x < -2\)), дробь будет отрицательной.

Отсюда

\(
\frac{x^2 + 4x + 8}{x + 2} < 0,
\)

то есть неравенство не выполняется на промежутке \(-3 \leq x < -2\).

Если \(x < -3\), тогда

\(
|x + 3| = -(x + 3),
\)

и

\(
|x + 2| = -(x + 2),
\)

тогда неравенство

\(
\frac{4}{-(x + 3) — 1} \geq -(x + 2),
\)

то есть

\(
\frac{4}{-x — 3 — 1} \geq -(x + 2),
\)

или

\(
\frac{4}{-x — 4} \geq -(x + 2).
\)

Домножим числитель и знаменатель на \(-1\), чтобы удобнее:

\(
\frac{4}{-(x + 4)} = -\frac{4}{x + 4},
\)

тогда неравенство:

\(
-\frac{4}{x + 4} \geq -(x + 2),
\)

что эквивалентно

\(
\frac{4}{x + 4} \leq x + 2.
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
\frac{4}{x + 4} — (x + 2) \leq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{4 — (x + 2)(x + 4)}{x + 4} \leq 0.
\)

Раскроем произведение в числителе:

\(
(x + 2)(x + 4) = x^2 + 6x + 8,
\)

тогда числитель:

\(
4 — (x^2 + 6x + 8) = -x^2 — 6x — 4.
\)

Умножим числитель и неравенство на \(-1\) (перевернём знак):

\(
\frac{x^2 + 6x + 4}{x + 4} \geq 0.
\)

Найдём корни числителя:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 — 16 = 20,
\)

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}.
\)

Нули знаменателя: \(x = -4\).

Рассмотрим знаки на промежутках:

— При \(x < -4\) знаменатель отрицателен.
— Между корнями числителя: \(-3 — \sqrt{5} < x < -3 + \sqrt{5}\).
— Значения примерно: \(-3 — \sqrt{5} \approx -5.236\), \(-3 + \sqrt{5} \approx -0.764\).

Промежутки:

1. \(x < -4\)
2. \(-4 < x < -3 — \sqrt{5}\) (пусто, так как \(-3 — \sqrt{5} > -4\) неверно)
3. \(-3 — \sqrt{5} < x < -4\) (пусто)
4. \(-4 < x < -3 + \sqrt{5}\)
5. \(x > -3 + \sqrt{5}\)

Поскольку \(-3 — \sqrt{5} < -4\), порядок:

\(
— \infty < -3 — \sqrt{5} < -4 < -3 + \sqrt{5} < +\infty.
\)

Значит:

— На \((-\infty, -3 — \sqrt{5})\) — числитель положителен (поскольку парабола вверх и промежуток слева от меньшего корня),
— На \((-3 — \sqrt{5}, -3 + \sqrt{5})\) — числитель отрицателен,
— На \((-3 + \sqrt{5}, +\infty)\) — числитель положителен.

Знаменатель меняет знак в точке \(-4\).

Проверим знак дроби на промежутках:

— На \((-\infty, -3 — \sqrt{5})\): числитель > 0, знаменатель при \(x < -4\) отрицателен, дробь отрицательна.
— На \((-3 — \sqrt{5}, -4)\): числитель < 0, знаменатель < 0, дробь положительна.
— На \((-4, -3 + \sqrt{5})\): числитель < 0, знаменатель > 0, дробь отрицательна.
— На \((-3 + \sqrt{5}, +\infty)\): числитель > 0, знаменатель > 0, дробь положительна.

Нас интересует, где дробь \(\geq 0\), значит:

\(
x \in [-3 — \sqrt{5}, -4) \cup [-3 + \sqrt{5}, +\infty).
\)

Итоговый ответ для 5):

\(
[-3 — \sqrt{5}; -4) \cup (-2; 0].
\)

6) Рассмотрим неравенство

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 + |x| — 2} \geq -2x.
\)

Разобьём на случаи по знаку \(x\).

Если \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\), и неравенство становится

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 + x — 2} \geq -2x.
\)

Перенесём правую часть в левую:

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 + x — 2} + 2x \geq 0.
\)

Заметим, что

\(
(1 — x)(2 — x) = (x — 1)(x — 2),
\)

так как

\(
(1 — x)(2 — x) = (-(x — 1)) (-(x — 2)) = (x — 1)(x — 2).
\)

Также знаменатель раскладывается:

\(
x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1).
\)

Подставим:

\(
\frac{(x — 1)(x — 2)}{(x + 2)(x — 1)} + 2x \geq 0.
\)

Сократим \((x — 1)\) (при \(x \neq 1\)):

\(
\frac{x — 2}{x + 2} + 2x \geq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{x — 2}{x + 2} + \frac{2x(x + 2)}{x + 2} = \frac{x — 2 + 2x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x^2 + 5x — 2}{x + 2} \geq 0.
\)

Рассмотрим числитель:

\(
2x^2 + 5x — 2 = 0.
\)

Найдём корни:

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41,
\)

\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4}.
\)

Обозначим корни как

\(
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{41}}{4}, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}.
\)

Знаменатель равен нулю при \(x = -2\).

Проверим знаки на промежутках:

— При \(x < -2\) знаменатель отрицателен,
— При \(x > -2\) знаменатель положителен.

Парабола \(2x^2 + 5x — 2\) направлена вверх.

Знак числителя:

— Положительный вне промежутка \((x_1, x_2)\),
— Отрицательный внутри \((x_1, x_2)\).

Итог:

\(
\frac{2x^2 + 5x — 2}{x + 2} \geq 0
\)

при

\(
x \leq x_1, \quad -2 < x < x_2, \quad x \neq -2.
\)

Но при \(x \geq 0\) нас интересует только часть \(x \geq 0\), тогда

\(
x \geq x_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}.
\)

Если \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\), и неравенство:

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 — x — 2} \geq -2x.
\)

Заметим, что

\(
x^2 — x — 2 = (x — 2)(x + 1).
\)

Перенесём правую часть в левую:

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{x^2 — x — 2} + 2x \geq 0.
\)

Подставим разложения:

\(
\frac{(1 — x)(2 — x)}{(x — 2)(x + 1)} + 2x \geq 0.
\)

Перепишем числитель:

\(
(1 — x)(2 — x) = (x — 1)(x — 2).
\)

Тогда дробь:

\(
\frac{(x — 1)(x — 2)}{(x — 2)(x + 1)} = \frac{x — 1}{x + 1}, \quad x \neq 2.
\)

Итоговое неравенство:

\(
\frac{x — 1}{x + 1} + 2x \geq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:

\(
\frac{x — 1}{x + 1} + \frac{2x(x + 1)}{x + 1} = \frac{x — 1 + 2x^2 + 2x}{x + 1} = \frac{2x^2 + 3x — 1}{x + 1} \geq 0.
\)

Рассмотрим числитель:

\(
2x^2 + 3x — 1 = 0.
\)

Найдём корни:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17,
\)

\(
x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.
\)

Обозначим корни как

\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}.
\)

Знаменатель равен нулю при \(x = -1\).

Проверим знаки на промежутках:

— При \(x < -1\) знаменатель отрицателен,
— При \(x > -1\) знаменатель положителен.

Парабола \(2x^2 + 3x — 1\) направлена вверх.

Знак числителя:

— Положительный вне промежутка \((x_1, x_2)\),
— Отрицательный внутри.

Тогда дробь \(\geq 0\) при

\(
x \leq x_1, \quad -1 < x < x_2.
\)

Так как \(x < 0\), нас интересуют части с \(x < 0\).

Итоговый ответ для 6):

\(
\left[ -\frac{3 + \sqrt{17}}{4}, -1 \right) \cup \left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}, +\infty \right).
\)

7)

Решим неравенство:

\(
|x^2 — 2x — 3| < 3x — 3;
\)

Сначала найдем корни уравнения под знаком модуля:

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)

Корни будут:

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Теперь рассматриваем два случая.

Случай 1: Если \(x \leq -1\) или \(x \geq 3\), тогда:

\(
x^2 — 2x — 3 < 3x — 3;
\)

Переписываем неравенство:

\(
x^2 — 5x < 0;
\)

Факторизуем:

\(
x(x — 5) < 0;
\)

Теперь определяем знаки на интервалах:

— \(x < 0\): \(x < -1\) и \(x > 5\).

Таким образом, для этого случая решения будут:

\(
(-\infty, 0) \cup (5, +\infty).
\)

Случай 2: Если \(-1 < x < 3\), тогда:

\(
-x^2 + 2x + 3 < 3x — 3;
\)

Переписываем неравенство:

\(
x^2 + x — 6 > 0;
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)

Корни будут:

\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

Теперь рассматриваем знаки на интервалах:

Факторизуем:

\(
(x + 3)(x — 2) > 0;
\)

Решения будут:

\(
x < -3, \quad x > 2.
\)

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем ответ:

\(
(-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (0, +\infty).
\)

8)

Решим неравенство:

\(
|x^2 + 4x + 3| > x + 3;
\)

Сначала найдем корни уравнения под знаком модуля:

\(
x^2 + 4x + 3 = 0;
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

Корни будут:

\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)

Теперь рассматриваем два случая.

Случай 1: Если \(x \leq -3\) или \(x \geq -1\), тогда:

\(
x^2 + 4x + 3 > x + 3;
\)

Переписываем неравенство:

\(
x^2 + 3x > 0;
\)

Факторизуем:

\(
x(x + 3) > 0;
\)

Решения будут:

\(
x < -3, \quad x > 0.
\)

Случай 2: Если \(-3 < x < -1\), тогда:

\(
-x^2 — 4x — 3 > x + 3;
\)

Переписываем неравенство:

\(
x^2 + 5x + 6 < 0;
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}
\)

Корни будут:

\(
x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;
\)

Теперь рассматриваем знаки на интервалах:

Факторизуем:

\(
(x + 3)(x + 2) < 0;
\)

Решения будут:

\(-3 < x < -2.\)

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем ответ:

\(
(-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (0, +\infty).
\)