ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.168 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение

\(
(a+4)x^2 + (a+4)x + 3 = 0
\)

имеет корни?

Дано уравнение:

\(
(a + 4)x^2 + (a + 4)x + 3 = 0;
\)

\(
D = (a + 4)^2 — 4(a + 4) \cdot 3;
\)

\(
D = (a + 4)(a + 4 — 12);
\)

\(
D = (a + 4)(a — 8);
\)

1) Имеет корни:

\(
(a + 4)(a — 8) \geq 0;
\)

\(
a \leq -4, \quad a \geq 8;
\)

2) Станет линейным:

\(
a + 4 = 0, \quad a = -4;
\)

Ответ: \((-\infty; -4) \cup [8; +\infty)\).

Дано уравнение:

\(
(a + 4)x^2 + (a + 4)x + 3 = 0;
\)

Для того чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным. Рассчитаем дискриминант \( D \):

\(
D = (a + 4)^2 — 4(a + 4) \cdot 3;
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = (a + 4)^2 — 12(a + 4);
\)

Факторизуем:

\(
D = (a + 4)((a + 4) — 12);
\)

Это приводит нас к следующему выражению:

\(
D = (a + 4)(a — 8);
\)

Теперь установим условие для наличия корней:

1) Уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицателен:

\(
(a + 4)(a — 8) \geq 0;
\)

Решим это неравенство. У нас есть два критических значения: \( a = -4 \) и \( a = 8 \). Теперь определим знаки произведения на интервалах, которые они задают:

— Для \( a < -4 \): оба множителя отрицательные, значит произведение положительное.
— Для \( -4 < a < 8 \): первый множитель положительный, второй отрицательный, значит произведение отрицательное.
— Для \( a > 8 \): оба множителя положительные, значит произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется в следующих интервалах:

\(
a \leq -4, \quad a \geq 8.
\)

2) Уравнение станет линейным, если коэффициент при \( x^2 \) равен нулю. Это происходит при:

\(
a + 4 = 0 — a = -4.
\)

Ответ:

\(
(-\infty; -4) \cup [8; +\infty).
\)