ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.169 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство

\(
(a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0
\)

выполняется при всех значениях \( x \)?

Дано уравнение:

\(
(a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0;
\)

\(
D = (2a)^2 — 4(a + 4)(2a — 6);
\)

\(
D = 4a^2 — 4(2a^2 — 6a + 8a — 24);
\)

\(
D = -4(a^2 + 2a — 24);
\)

1) Всегда верно:

\(
-4(a^2 + 2a — 24) < 0, \quad a + 4 < 0;
\)

\(
a^2 + 2a — 24 > 0, \quad a < -4;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100,
\)

тогда:

\(
a_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4;
\)

\(
(x + 6)(x — 4) > 0;
\)

\(
x < -6, \quad x > 4;
\)

\(
x < -6;
\)

2) Станет линейным:

\(
a + 4 = 0, \quad a = -4;
\)

Ответ: \((-\infty; -6)\).

Дано уравнение:

\(
(a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0;
\)

Для того чтобы неравенство выполнялось при всех \( x \), необходимо, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным, а дискриминант был отрицательным. Рассчитаем дискриминант \( D \):

\(
D = (2a)^2 — 4(a + 4)(2a — 6);
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = 4a^2 — 4(2a^2 — 6a + 8a — 24);
\)

Раскроем скобки:

\(
D = 4a^2 — 4(2a^2 + 2a — 24);
\)

Теперь упростим:

\(
D = 4a^2 — 8a^2 — 8a + 96;
\)

Это приводит нас к следующему выражению:

\(
D = -4(a^2 + 2a — 24);
\)

Теперь установим условие для того, чтобы \( D < 0 \):

1) Для того чтобы неравенство всегда было верным, необходимо, чтобы

\(
-4(a^2 + 2a — 24) < 0.
\)

Это происходит, когда

\(
a^2 + 2a — 24 > 0.
\)

Решим это неравенство. Найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.
\)

Теперь найдем корни уравнения \( a^2 + 2a — 24 = 0 \):

\(
a_1 = \frac{-2 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 — 10}{2} = -6,
\)
\(
a_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 + 10}{2} = 4.
\)

Теперь определим знаки на интервалах, заданных корнями:

\((- \infty, -6)\), \((-6, 4)\), и \((4, +\infty)\).

Рассмотрим знак произведения \( (a + 6)(a — 4) > 0 \):

— Для \( a < -6 \): оба множителя отрицательные, значит произведение положительное.
— Для \( -6 < a < 4 \): первый множитель положительный, второй отрицательный, значит произведение отрицательное.
— Для \( a > 4 \): оба множителя положительные, значит произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется в следующих интервалах:

\(
a < -6 \quad \text{или} \quad a > 4.
\)

Теперь установим условие для линейного уравнения:

2) Уравнение станет линейным, когда

\(
a + 4 = 0,
\)

что дает

\(
a = -4.
\)

В итоге ответ:

\(
(-\infty; -6) \cup (4; +\infty).
\)