ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли такое трёхзначное число \( \overline{abc} \), что значение выражения
\(
\overline{abc} — \overline{cba}
\)
является квадратом натурального числа?

Дано трёхзначное число: \( abc \);

1) Значение выражения:
\(
abc — cba = (100a + 10b + c) — (100c + 10b + a);
\)
\(
abc — cba = 99a — 99c = 99(a — c) = 9 \cdot 11(a — c);
\)

2) Является квадратом:
\(
11;
\)
\(
a = 11 + c.
\)

Ответ: не существует.

Дано трёхзначное число \( abc \).

Рассмотрим выражение \( abc — cba \), где:
\(
abc = 100a + 10b + c,
\)
\(
cba = 100c + 10b + a.
\)

Шаг 1. Найдём значение выражения

Вычислим разность \( abc — cba \):
\(
abc — cba = (100a + 10b + c) — (100c + 10b + a).
\)
Упростим:
\(
abc — cba = 100a + 10b + c — 100c — 10b — a.
\)
Сгруппируем подобные члены:
\(
abc — cba = (100a — a) + (10b — 10b) + (c — 100c).
\)
\(
abc — cba = 99a — 99c.
\)

Вынесем общий множитель \( 99 \):
\(
abc — cba = 99(a — c).
\)

Разложим \( 99 \) на множители:
\(
abc — cba = 9 \cdot 11(a — c).
\)

Таким образом, разность \( abc — cba \) равна:
\(
abc — cba = 9 \cdot 11(a — c).
\)

Шаг 2. Условие квадратности

Для того чтобы выражение \( abc — cba \) являлось квадратом натурального числа, необходимо, чтобы произведение \( 9 \cdot 11(a — c) \) было полным квадратом.

Однако \( 9 \cdot 11 = 99 \), и число \( 99 \) само по себе не является квадратом, так как не существует натурального числа \( n \), для которого \( n^2 = 99 \).

Следовательно, для того чтобы произведение \( 99(a — c) \) стало квадратом, выражение \( a — c \) должно быть таким, чтобы компенсировать недостаток квадратности в \( 99 \).

Шаг 3. Проверка возможных значений

В выражении \( abc — cba = 99(a — c) \), цифры \( a \) и \( c \) принадлежат множеству натуральных чисел от \( 0 \) до \( 9 \), причём \( a > 0 \), так как число \( abc \) трёхзначное.

Если предположить, что \( a — c = k \), то:
\(
abc — cba = 99k.
\)
Для того чтобы \( 99k \) было квадратом натурального числа, значение \( k \) должно быть таким, чтобы произведение \( 99k \) стало полным квадратом.

Однако при проверке всех возможных значений цифры \( k = a — c \), ни одно из них не приводит к тому, что произведение \( 99k \) является квадратом натурального числа.

Ответ: не существует такого трёхзначного числа \( abc \), для которого выражение \( abc — cba \) является квадратом натурального числа.