ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.170 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство

\(
(a^2 — 1)x^2 + 2(a — 1)x + 2 > 0
\)

выполняется для любого значения \( x \)?

Дано уравнение:

\(
(a^2 — 1)x^2 + 2(a — 1)x + 2 > 0;
\)

\(
D = 2^2 (a — 1)^2 — 4(a^2 — 1) \cdot 2;
\)

\(
D = 4(a^2 — 2a + 1) — 4(2a^2 — 2);
\)

\(
D = -4(a^2 + 2a — 3);
\)

1) Всегда верно:

\(
-4(a^2 + 2a — 3) < 0, \quad a^2 — 1 > 0;
\)

\(
a^2 + 2a — 3 > 0, \quad (a + 1)(a — 1) > 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:

\(
a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = -1;
\)

\(
(a + 3)(a + 1) > 0, \quad a < -1, \quad a > 1;
\)

\(
a < -3, \quad a > -1;
\)

\(
a < -3, \quad a > 1;
\)

2) Станет линейным:

\(
a^2 — 1 = 0, \quad a = \pm 1;
\)

Ответ: \((-\infty; -3) \cup [1; +\infty)\).

Дано уравнение:

\(
(a^2 — 1)x^2 + 2(a — 1)x + 2 > 0;
\)

Для того чтобы неравенство выполнялось для любого значения \( x \), необходимо, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным, а дискриминант был отрицательным. Рассчитаем дискриминант \( D \):

\(
D = 2^2 (a — 1)^2 — 4(a^2 — 1) \cdot 2;
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = 4(a — 1)^2 — 8(a^2 — 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
D = 4(a^2 — 2a + 1) — 8a^2 + 8;
\)

Теперь упростим:

\(
D = 4a^2 — 8a + 4 — 8a^2 + 8;
\)

Это приводит нас к следующему выражению:

\(
D = -4a^2 + 8 — 8a = -4(a^2 + 2a — 3);
\)

Теперь установим условие для того, чтобы \( D < 0 \):

1) Для того чтобы неравенство всегда было верным, необходимо, чтобы

\(
-4(a^2 + 2a — 3) < 0.
\)

Это происходит, когда

\(
a^2 + 2a — 3 > 0.
\)

Решим это неравенство. Найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Теперь найдем корни уравнения \( a^2 + 2a — 3 = 0 \):

\(
a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = -1.
\)

Теперь определим знаки на интервалах, заданных корнями:

\(
(a + 3)(a — 1) > 0.
\)

— Для \( a < -3 \): оба множителя положительные, значит произведение положительное.
— Для \( -3 < a < -1 \): первый множитель положительный, второй отрицательный, значит произведение отрицательное.
— Для \( a > -1 \): оба множителя положительные, значит произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется для следующих интервалов:

\(
a < -3 \quad \text{или} \quad a > 1.
\)

2) Условие станет линейным, когда

\(
a^2 — 1 = 0, \quad a = \pm 1.
\)

Ответ:

\(
(-\infty; -3) \cup [1; +\infty).
\)