ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.171 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство

\(
(a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0
\)

выполняется при всех значениях \( x \)?

Дано уравнение:

\(
(a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0;
\)

\(
D = (2a)^2 — 4(a — 3)(3a — 6);
\)

\(
D = 4a^2 — 4(3a^2 — 6a — 9a + 18);
\)

\(
D = -4(2a^2 — 15a + 18);
\)

1) Всегда верно:

\(
-4(2a^2 — 15a + 18) < 0, \quad a — 3 > 0;
\)

\(
2a^2 — 15a + 18 > 0, \quad a > 3;
\)

\(
D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81,
\)

тогда:

\(
a_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = 6;
\)

\(
\left(a — \frac{3}{2}\right)(a — 6) > 0;
\)

\(
a < \frac{3}{2}, \quad a > 6;
\)

\(
a > 6;
\)

2) Станет линейным:

\(
a — 3 = 0, \quad a = 3;
\)

Ответ: \((6; +\infty)\).

Дано уравнение:

\(
(a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0;
\)

Для того чтобы неравенство выполнялось при всех значениях \( x \), необходимо, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным, а дискриминант был отрицательным. Рассчитаем дискриминант \( D \):

\(
D = (2a)^2 — 4(a — 3)(3a — 6);
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = 4a^2 — 4(3a^2 — 6a — 9a + 18);
\)

Раскроем скобки:

\(
D = 4a^2 — 4(3a^2 — 15a + 18);
\)

Теперь упростим:

\(
D = 4a^2 — 12a^2 + 60a — 72;
\)

Это приводит нас к следующему выражению:

\(
D = -8a^2 + 60a — 72 = -4(2a^2 — 15a + 18);
\)

Теперь установим условие для того, чтобы \( D < 0 \):

1) Для того чтобы неравенство всегда было верным, необходимо, чтобы

\(
-4(2a^2 — 15a + 18) < 0.
\)

Это происходит, когда

\(
2a^2 — 15a + 18 > 0.
\)

Решим это неравенство. Найдем дискриминант:

\(
D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81.
\)

Теперь найдем корни уравнения \( 2a^2 — 15a + 18 = 0 \):

\(
a_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6.
\)

Теперь рассмотрим знак произведения:

\(
\left(a — \frac{3}{2}\right)\left(a — 6\right) > 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
a < \frac{3}{2}, \quad a > 6.
\)

Так как \( a — 3 > 0 \) требует, чтобы \( a > 3 \), остаётся только:

\(
a > 6.
\)

2) Станет линейным:

\(
a — 3 = 0, \quad a = 3.
\)

Ответ: \((6; +\infty)\).