ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.172 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) один из корней уравнения

\(
3ax^2 — 2x — 3a — 2 = 0
\)

больше \( 1 \), а другой меньше \( 1 \)?

Дано уравнение:

\(
3ax^2 — 2x — 3a — 2 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3a \cdot (3a + 2) = 4 + 36a^2 + 24a;
\)

\(
D = 4(9a^2 + 6a + 1) = 4(3a + 1)^2, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 2(3a + 1)}{2 \cdot 3a} = \frac{-6a}{6a} = -1 < 1;
\)

\(
x_2 = \frac{2 + 2(3a + 1)}{2 \cdot 3a} = \frac{4 + 6a}{6a} = \frac{2 + 3a}{3a};
\)

Корень \(x_2\) больше 1:

\(
\frac{2 + 3a}{3a} > 1;
\)

\(
\frac{2 + 3a — 3a}{3a} > 0;
\)

\(
\frac{2}{3a} > 0;
\)

\(
a > 0;
\)

Ответ: \((0; +\infty)\).

Дано уравнение:

\(
3ax^2 — 2x — 3a — 2 = 0;
\)

Для анализа корней этого уравнения найдем дискриминант \( D \):

\(
D = b^2 — 4ac,
\)

где \( a = 3a \), \( b = -2 \), \( c = -3a — 2 \). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3a \cdot (-3a — 2) = 4 + 12a(3a + 2).
\)

Упростим выражение для дискриминанта:

\(
D = 4 + 36a^2 + 24a.
\)

Теперь представим дискриминант в виде:

\(
D = 4(9a^2 + 6a + 1) = 4(3a + 1)^2.
\)

Так как дискриминант \( D \) всегда неотрицателен (поскольку это квадрат), уравнение всегда имеет два корня. Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.
\)

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\(
x_1 = \frac{2 — 2(3a + 1)}{2 \cdot 3a} = \frac{2 — 6a — 2}{6a} = \frac{-6a}{6a} = -1 < 1;
\)

\(
x_2 = \frac{2 + 2(3a + 1)}{2 \cdot 3a} = \frac{2 + 6a + 2}{6a} = \frac{4 + 6a}{6a} = \frac{2 + 3a}{3a}.
\)

Теперь установим условие, что корень \( x_2 \) больше \( 1 \):

\(
\frac{2 + 3a}{3a} > 1.
\)

Умножим обе стороны неравенства на \( 3a \) (при условии, что \( a > 0 \)):

\(
2 + 3a > 3a.
\)

Из этого неравенства видно, что:

\(
2 > 0,
\)

что всегда верно. Однако нам нужно уточнить, что \( a > 0 \).

Таким образом, итоговое условие для параметра \( a \):

\(
a > 0.
\)

Ответ: \( (0; +\infty) \).