ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.174 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) корни уравнения

\(
x^2 — 2ax + a^2 — a = 0
\)

принадлежат промежутку

\(
[-2; 6]?
\)

Дано уравнение:

\(
x^2 — 2ax + a^2 — a = 0;
\)

\(
D = (2a)^2 — 4(a^2 — a);
\)

\(
D = 4a^2 — 4a^2 + 4a;
\)

\(
D = 4a \geq 0, \quad a \geq 0;
\)

1) Выполняется условие:
\(
x_1, x_2 \in [-2; 6];
\)

\(
f(-2) \geq 0, \quad f(6) \geq 0;
\)

\(
-2 \leq x_0 \leq 6;
\)

2) Первое неравенство:

\(
f(-2) = 4 + 4a + a^2 — a \geq 0;
\)

\(
4 + 4a + a^2 — a \geq 0;
\)

\(
a^2 + 3a + 4 \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7;
\)

\(
D < 0, \quad значит \quad a \in \mathbb{R};
\)

3) Второе неравенство:

\(
f(6) = 36 — 12a + a^2 — a \geq 0;
\)

\(
a^2 — 13a + 36 \geq 0;
\)

\(
D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25,
\)

тогда:

\(
a_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad a_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9;
\)

\(
(a — 4)(a — 9) \geq 0;
\)

\(
a \leq 4, \quad a \geq 9;
\)

4) Третье неравенство:

\(
x_0 = \frac{2a}{2} = a;
\)

\(
-2 \leq a \leq 6;
\)

Ответ: \([0; 4]\).

Дано уравнение:

\(
x^2 — 2ax + a^2 — a = 0;
\)

Для начала найдем дискриминант \( D \):

\(
D = (2a)^2 — 4(a^2 — a);
\)

Упростим выражение для дискриминанта:

\(
D = 4a^2 — 4a^2 + 4a;
\)

Таким образом, получаем:

\(
D = 4a \geq 0, \quad a \geq 0.
\)

Это означает, что уравнение имеет два действительных корня, если \( a \geq 0 \).

Теперь рассмотрим условия для корней \( x_1 \) и \( x_2 \), которые должны принадлежать промежутку \([-2; 6]\):

1) Выполняется условие:

\(
x_1, x_2 \in [-2; 6];
\)

Это означает, что необходимо проверить значения функции в границах этого интервала:

\(
f(-2) \geq 0, \quad f(6) \geq 0.
\)

Также мы знаем, что корни \( x_1 \) и \( x_2 \) должны удовлетворять условию:

\(
-2 \leq x_0 \leq 6.
\)

2) Первое неравенство:

Теперь найдем значение функции в точке \( -2 \):

\(
f(-2) = 4 + 4a + a^2 — a \geq 0;
\)

Упрощаем это неравенство:

\(
4 + 4a + a^2 — a \geq 0;
\)

Соберем все члены в одном неравенстве:

\(
a^2 + 3a + 4 \geq 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого неравенства:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7.
\)

Так как дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), это означает, что неравенство выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).

3) Второе неравенство:

Теперь найдем значение функции в точке \( 6 \):

\(
f(6) = 36 — 12a + a^2 — a \geq 0;
\)

Упрощаем это неравенство:

\(
a^2 — 13a + 36 \geq 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого неравенства:

\(
D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25.
\)

Корни данного квадратного уравнения будут:

\(
a_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad a_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9;
\)

Теперь можем записать неравенство в виде произведения:

\(
(a — 4)(a — 9) \geq 0.
\)

Решая это неравенство, получаем:

\(
a \leq 4, \quad a \geq 9.
\)

4) Третье неравенство:

Теперь рассмотрим третье условие:

\(
x_0 = \frac{2a}{2} = a;
\)

Это значит, что корень \( x_0 \) должен находиться в пределах:

\(
-2 \leq a \leq 6.
\)

Объединив все условия, мы получаем:

Ответ:

\([0; 4]\).