ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.175 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство

\(
ax^2 — 4x + 4a > 0
\)

выполняется для всех положительных значений \( x \)?

Дано неравенство:

\(
ax^2 — 4x + 4a > 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot 4a;
\)

\(
D = 16 — 16a^2;
\)

\(
D = 16(1 — a^2);
\)

1) Вершина параболы:
\(
x_0 = \frac{4}{2 \cdot a} = \frac{2}{a} > 0;
\)

2) Выполняется условие:
\(
x \in (0; +\infty), \quad a > 0;
\)

\(
D < 0, \quad f(0) \geq 0;
\)

3) Первое неравенство:
\(
16(1 — a^2) < 0;
\)

\(
a^2 — 1 > 0;
\)

\(
(a + 1)(a — 1) > 0;
\)

\(
a < -1, \quad a > 1;
\)

4) Второе неравенство:
\(
f(0) = 4a > 0;
\)

\(
a > 0;
\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

Дано неравенство:

\(
ax^2 — 4x + 4a > 0;
\)

Для анализа данного неравенства найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot 4a;
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = 16 — 16a^2;
\)

Факторизуем полученное выражение:

\(
D = 16(1 — a^2);
\)

Теперь рассмотрим условия, при которых неравенство выполняется.

1) Вершина параболы:
Вершина параболы описывается формулой

\(
x_0 = \frac{4}{2 \cdot a} = \frac{2}{a} > 0.
\)

Это условие требует, чтобы \( a > 0 \).

2) Выполняется условие:
Неравенство должно выполняться для всех положительных \( x \):

\(
x \in (0; +\infty), \quad a > 0;
\)

Также необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным:

\(
D < 0, \quad f(0) \geq 0.
\)

3) Первое неравенство:
Рассмотрим первое неравенство для дискриминанта:

\(
16(1 — a^2) < 0;
\)

Упрощаем его:

\(
1 — a^2 < 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 — 1 > 0.
\)

Это неравенство можно факторизовать:

\(
(a + 1)(a — 1) > 0.
\)

Решим это неравенство. Оно выполняется при:

\(
a < -1, \quad a > 1.
\)

4) Второе неравенство:
Теперь рассмотрим значение функции в нуле:

\(
f(0) = 4a > 0.
\)

Это условие требует, чтобы

\(
a > 0.
\)

Теперь объединяем условия. Из первого неравенства мы получили \( a < -1 \) или \( a > 1 \). Однако из второго неравенства следует, что \( a > 0 \). Таким образом, актуально только решение:

\(
a > 1.
\)

Ответ:

\(
(1; +\infty).
\)