ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.176 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) неравенство

\(
x^2 + ax — 7a < 0
\)

выполняется для всех \( x \) из промежутка

\(
(1; 2)?
\)

Дано неравенство:

\(
x^2 + ax — 7a < 0;
\)

\(
D = a^2 + 4 \cdot 7a;
\)

\(
D = a^2 + 28a;
\)

\(
D = a(a + 28);
\)

1) Выполняется условие:
\(
x \in (1; 2), \quad D > 0;
\)

\(
f(1) \leq 0, \quad f(2) \leq 0;
\)

2) Первое неравенство:
\(
f(1) = 1 + a — 7a \leq 0;
\)

\(
1 — 6a \leq 0;
\)

\(
6a \geq 1, \quad a \geq \frac{1}{6};
\)

3) Второе неравенство:
\(
f(2) = 4 + 2a — 7a \leq 0;
\)

\(
4 — 5a \leq 0;
\)

\(
5a \geq 4, \quad a \geq \frac{4}{5};
\)

4) Третье неравенство:
\(
D = a(a + 28) > 0;
\)

\(
a \in (-\infty, -28) \cup (0, +\infty);
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{4}{5}; +\infty \right).
\)

Дано неравенство:

\(
x^2 + ax — 7a < 0;
\)

Для анализа этого неравенства найдем дискриминант \( D \):

\(
D = a^2 + 4 \cdot 7a;
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = a^2 + 28a;
\)

Факторизуем полученное выражение:

\(
D = a(a + 28);
\)

Теперь рассмотрим условия, при которых неравенство выполняется.

1) Выполняется условие:
Неравенство должно выполняться на интервале \( x \in (1; 2) \) и дискриминант должен быть положительным:

\(
D > 0;
\)

Также необходимо, чтобы функции в границах интервала были не положительными:

\(
f(1) \leq 0, \quad f(2) \leq 0.
\)

2) Первое неравенство:
Теперь найдем значение функции в точке \( x = 1 \):

\(
f(1) = 1 + a — 7a \leq 0;
\)

Упрощаем это неравенство:

\(
1 — 6a \leq 0.
\)

Переносим \( 6a \) на другую сторону:

\(
6a \geq 1.
\)

Следовательно, делим обе стороны на 6:

\(
a \geq \frac{1}{6}.
\)

3) Второе неравенство:
Теперь найдем значение функции в точке \( x = 2 \):

\(
f(2) = 4 + 2a — 7a \leq 0;
\)

Упрощаем это неравенство:

\(
4 — 5a \leq 0.
\)

Переносим \( 5a \) на другую сторону:

\(
5a \geq 4.
\)

Следовательно, делим обе стороны на 5:

\(
a \geq \frac{4}{5}.
\)

4) Третье неравенство:
Теперь рассмотрим дискриминант:

\(
D = a(a + 28) > 0.
\)

Это неравенство выполняется, если:

\(
a \in (-\infty, -28) \cup (0, +\infty).
\)

Теперь необходимо объединить все условия. Мы имеем:

— \( a \geq \frac{4}{5} \)
— \( a \in (0, +\infty) \)

Таким образом, окончательный ответ будет:

Ответ:
\(
\left[\frac{4}{5}; +\infty \right).
\)