ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.177 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) все решения неравенства

\(
ax^2 — 2x — a(a^2 + a) < 0
\)

удовлетворяют неравенству

\(
x_2 < 9?
\)

Дано неравенство:

\(
a x^2 — 2x — a(a^2 + 2) < 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 a \cdot a (a^2 + 2) = 4 + 4 (a^4 + 2 a^2);
\)

\(
D = 4 (a^4 + 2 a^2 + 1) = 4 (a^2 + 1)^2,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{2 — 2(a^2 + 1)}{2 a} = \frac{-2 a^2}{2 a} = -a;
\)

\(
x_2 = \frac{2 + 2(a^2 + 1)}{2 a} = \frac{2 a^2 + 4}{2 a} = \frac{a^2 + 2}{a};
\)

1) Выполняется условие:
\(
x^2 \leq 9, \quad -3 \leq x \leq 3;
\)

2) Первое неравенство:
\(
-3 \leq -a \leq 3, \quad a > 0;
\)

\(
-3 \leq a \leq 3;
\)

3) Второе неравенство:
\(
-3 \leq \frac{a^2 + 2}{a} \leq 3, \quad a > 0;
\)

\(
-3a \leq a^2 + 2 \leq 3a;
\)

4) Первое значение:
\(
a^2 + 3a + 2 \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)

тогда:
\(
a_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;
\)

\(
(a + 2)(a + 1) \geq 0;
\)

\(
a \leq -2, \quad a \geq -1;
\)

5) Второе значение:
\(
a^2 — 3a + 2 \leq 0;
\)

\(
a_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

\(
(a — 1)(a — 2) \leq 0;
\)

\(
1 \leq a \leq 2;
\)

Ответ:
\(
[1; 2].
\)

Дано неравенство:

\(
a x^2 — 2x — a(a^2 + 2) < 0;
\)

Для анализа этого неравенства найдем дискриминант \( D \):

\(
D = 2^2 + 4 a \cdot a (a^2 + 2) = 4 + 4 (a^4 + 2 a^2);
\)

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\(
D = 4 (a^4 + 2 a^2 + 1) = 4 (a^2 + 1)^2,
\)

где \( D \) всегда неотрицателен, так как выражение \( (a^2 + 1)^2 \) всегда больше или равно нулю.

Теперь найдем корни неравенства:

\(
x_1 = \frac{2 — 2(a^2 + 1)}{2 a} = \frac{-2 a^2}{2 a} = -a;
\)

\(
x_2 = \frac{2 + 2(a^2 + 1)}{2 a} = \frac{2 a^2 + 4}{2 a} = \frac{a^2 + 2}{a}.
\)

Теперь рассмотрим условия, при которых неравенство выполняется.

1) Выполняется условие:
Неравенство должно выполняться на интервале:

\(
x^2 \leq 9, \quad -3 \leq x \leq 3.
\)

Это означает, что \( x \) должно находиться в пределах от -3 до 3.

2) Первое неравенство:
Теперь найдем значение для \( -a \):

\(
-3 \leq -a \leq 3, \quad a > 0.
\)

Переписываем это неравенство:

\(
-3 \leq a \leq 3.
\)

Однако, поскольку \( a > 0 \), мы можем ограничить диапазон значений:

\(
0 < a \leq 3.
\)

3) Второе неравенство:
Теперь рассмотрим второе неравенство:

\(
-3 \leq \frac{a^2 + 2}{a} \leq 3, \quad a > 0.
\)

Умножаем все части на \( a \) (поскольку \( a > 0 \)):

\(
-3a \leq a^2 + 2 \leq 3a.
\)

Это приводит к двум неравенствам.

4) Первое значение:
Рассмотрим первое неравенство:

\(
a^2 + 3a + 2 \geq 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)

тогда корни будут:

\(
a_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.
\)

Факторизуем:

\(
(a + 2)(a + 1) \geq 0.
\)

Решение этого неравенства дает:

\(
a \leq -2, \quad a \geq -1.
\)

5) Второе значение:
Теперь рассмотрим второе неравенство:

\(
a^2 — 3a + 2 \leq 0.
\)

Находим корни:

\(
a_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Факторизуем:

\(
(a — 1)(a — 2) \leq 0.
\)

Решение этого неравенства дает:

\(
1 \leq a \leq 2.
\)

Ответ:
\(
[1; 2].
\)