Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.178 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях параметра \( a \) неравенство
\(
\left| \frac{x^2 — ax + 1}{x^2 + x + 1} \right|
\)
выполняется для любого значения \( x \)?
Дано неравенство:
\(
\left| \frac{x^2 — a x + 1}{x^2 + x + 1} \right| < 3;
\)
1) Всегда верно:
\(
-3 < \frac{x^2 — a x + 1}{x^2 + x + 1} < 3;
\)
2) Первое неравенство:
\(
x^2 — a x + 1 > -3 x^2 — 3 x — 3;
\)
Упрощаем неравенство:
\(
4 x^2 + (3 — a) x + 4 > 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = (3 — a)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 < 0;
\)
Упрощаем:
\(
9 — 6 a + a^2 — 64 < 0;
\)
Получаем:
\(
a^2 — 6 a — 55 < 0;
\)
Находим дискриминант для этого уравнения:
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 55 = 36 + 220 = 256,
\)
тогда:
\(
a_1 = \frac{6 — 16}{2} = -5 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{6 + 16}{2} = 12;
\)
Факторизуем неравенство:
\(
(a + 5)(a — 12) < 0;
\)
Итак, решаем:
\(
-5 < a < 12;
\)
3) Второе неравенство:
\(
x^2 — a x + 1 < 3 x^2 + 3 x + 3;
\)
\(
2 x^2 + (3 + a) x + 2 > 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = (3 + a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 < 0;
\)
Упрощаем:
\(
9 + 6 a + a^2 — 16 < 0;
\)
Получаем:
\(
a^2 + 6 a — 7 < 0;
\)
Находим дискриминант для этого уравнения:
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,
\)
тогда:
\(
a_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1;
\)
Факторизуем неравенство:
\(
(a + 7)(a — 1) < 0;
\)
Итак, решаем:
\(
-7 < a < 1;
\)
Ответ:
\(
(-5; 1).
\)
Дано неравенство:
\(
\left| \frac{x^2 — a x + 1}{x^2 + x + 1} \right| < 3;
\)
1) Всегда верно:
Неравенство можно записать как два отдельных неравенства:
\(
-3 < \frac{x^2 — a x + 1}{x^2 + x + 1} < 3;
\)
2) Первое неравенство:
Рассмотрим первое неравенство:
\(
x^2 — a x + 1 > -3 x^2 — 3 x — 3;
\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(
x^2 — a x + 1 + 3 x^2 + 3 x + 3 > 0;
\)
Упрощаем:
\(
4 x^2 + (3 — a) x + 4 > 0;
\)
Теперь найдем дискриминант для этого квадратного неравенства. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac,
\)
где \( a = 4 \), \( b = 3 — a \), \( c = 4 \):
\(
D = (3 — a)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 < 0;
\)
Упрощаем:
\(
D = (3 — a)^2 — 64 < 0;
\)
Раскрываем скобки:
\(
9 — 6a + a^2 — 64 < 0;
\)
Получаем:
\(
a^2 — 6a — 55 < 0;
\)
Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256,
\)
так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня. Находим корни:
\(
a_1 = \frac{6 — 16}{2} = -5,
\)
\(
a_2 = \frac{6 + 16}{2} = 12.
\)
Теперь факторизуем неравенство:
\(
(a + 5)(a — 12) < 0;
\)
Решаем неравенство. Оно выполняется на интервале:
\(
-5 < a < 12.
\)
3) Второе неравенство:
Рассмотрим второе неравенство:
\(
x^2 — a x + 1 < 3 x^2 + 3 x + 3;
\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(
x^2 — a x + 1 — 3 x^2 — 3 x — 3 < 0;
\)
Упрощаем:
\(
-2 x^2 + (-a — 3)x — 2 < 0.
\)
Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:
\(
2 x^2 + (3 + a)x + 2 > 0;
\)
Находим дискриминант для этого квадратного неравенства:
\(
D = (3 + a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 < 0;
\)
Упрощаем:
\(
D = (3 + a)^2 — 16 < 0.
\)
Раскрываем скобки:
\(
9 + 6a + a^2 — 16 < 0;
\)
Получаем:
\(
a^2 + 6a — 7 < 0;
\)
Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:
\(
D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64,
\)
так как дискриминант положителен, у уравнения также есть два корня. Находим корни:
\(
a_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7,
\)
\(
a_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1.
\)
Факторизуем неравенство:
\(
(a + 7)(a — 1) < 0;
\)
Решаем неравенство. Оно выполняется на интервале:
\(
-7 < a < 1.
\)
Теперь объединяем результаты из двух неравенств.
Ответ:
Объединяя условия, получаем:
\(
(-5; 1).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.