ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.179 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( q \) такие, что для любого значения параметра \( p \) уравнение

\(
x^2 + px + q = 0
\)

имеет решение.

Дано неравенство:
\(
x^2 + p x + q = 0;
\)

\(
D = p^2 — 4 q;
\)

Всегда верно:
\(
p^2 — 4 q \geq 0;
\)

\(
p^2 \geq 4 q, \quad p^2 \geq 0;
\)

\(
4 q \leq 0, \quad q \leq 0;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; 0].
\)

Дано неравенство:

\(
x^2 + p x + q = 0;
\)

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант \( D \) был неотрицателен. Дискриминант определяется как:

\(
D = p^2 — 4q;
\)

Для выполнения условия наличия решений уравнения всегда должно выполняться неравенство:

\(
p^2 — 4q \geq 0;
\)

Это неравенство можно переписать в другой форме:

\(
p^2 \geq 4q.
\)

Также, поскольку \( p^2 \) всегда неотрицательно (так как это квадрат любого действительного числа), мы можем записать:

\(
p^2 \geq 0.
\)

Теперь из первого неравенства \( p^2 \geq 4q \) следует, что:

\(
4q \leq p^2.
\)

Так как \( p^2 \) может принимать любые неотрицательные значения, для того чтобы \( 4q \) всегда оставалось неотрицательным, необходимо, чтобы:

\(
q \leq 0.
\)

Таким образом, мы получаем, что все значения параметра \( q \), удовлетворяющие данному условию, находятся в интервале:

\(
(-\infty; 0].
\)