ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли такое трёхзначное число \( \overline{abc} \), что значение выражения
\(
\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}
\)
является квадратом натурального числа?

Дано трёхзначное число: \( abc \);

1) Значение выражения:
\(
abc + bca + cab = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)
\)
\(
= 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) =
\)
\(
= 3 \cdot 37(a + b + c);
\)

2) Является квадратом:
\(
a + b + c = 111;
\)
\(
a > 9, \, b > 9, \, c > 9.
\)

Ответ: не существует.

Дано трёхзначное число \( abc \).

Рассмотрим выражение \( abc + bca + cab \), где:
\(
abc = 100a + 10b + c,
\)
\(
bca = 100b + 10c + a,
\)
\(
cab = 100c + 10a + b.
\)

Шаг 1. Найдём значение выражения

Сложим три числа:
\(
abc + bca + cab = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b).
\)

Сгруппируем подобные члены:
\(
abc + bca + cab = (100a + a + 10a) + (100b + b + 10b) + (100c + c + 10c).
\)

Упростим:
\(
abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c.
\)

Вынесем общий множитель \( 111 \):
\(
abc + bca + cab = 111(a + b + c).
\)

Разложим \( 111 \) на множители:
\(
abc + bca + cab = 3 \cdot 37(a + b + c).
\)

Таким образом, значение выражения равно:
\(
abc + bca + cab = 3 \cdot 37(a + b + c).
\)

Шаг 2. Условие квадратности

Для того чтобы выражение \( abc + bca + cab \) являлось квадратом натурального числа, необходимо, чтобы произведение \( 3 \cdot 37(a + b + c) \) было полным квадратом.

Поскольку \( 3 \cdot 37 = 111 \), то \( a + b + c \) должно быть таким, чтобы произведение \( 111(a + b + c) \) являлось квадратом. Это возможно только если \( a + b + c \) делится на \( 111 \).

Предположим, что \( a + b + c = 111 \). Тогда:
\(
abc + bca + cab = 111 \cdot 111 = 12321.
\)

Число \( 12321 \) является квадратом, так как:
\(
12321 = 111^2.
\)

Однако цифры \( a, b, c \) должны быть такими, чтобы \( a > 9 \), \( b > 9 \), \( c > 9 \). Это невозможно, так как сумма цифр \( a, b, c = 111 \) превышает допустимый диапазон для трёхзначного числа.

Ответ: не существует.