ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.184 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные значения):

1) \( (b(b^4)^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{4}} \);
2) \( (c(c^2)^{\frac{1}{7}})^{\frac{1}{3}} \);
3) \( (a^2 (a^2)^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{6}} \).

1)
\(
\sqrt[4]{b} \sqrt[5]{b^4} = \sqrt[4 \cdot 5]{b^5 \cdot b^4} = \sqrt[20]{b^9};
\)
Ответ: \(\sqrt[20]{b^9}\).

2)
\(
\sqrt[3]{c} \sqrt[7]{c^2} = \sqrt[3 \cdot 7]{c^7 \cdot c^2} = \sqrt[21]{c^9} = \sqrt[7]{c^3};
\)
Ответ: \(\sqrt[7]{c^3}\).

3)
\(
\sqrt[6]{a^2} \sqrt[5]{a^2} = \sqrt[6 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5} \cdot a^{2 \cdot 6}} = \sqrt[30]{a^{12}} = \sqrt[5]{a^2};
\)
Ответ: \(\sqrt[5]{a^2}\).

Упростить выражение:

1) Рассмотрим выражение:

\(
\sqrt[4]{b} \sqrt[5]{b^4}.
\)

Запишем это как:

\(
\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} \quad \text{и} \quad \sqrt[5]{b^4} = b^{\frac{4}{5}}.
\)

Теперь перемножим:

\(
b^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{4}{5}} = b^{\frac{1}{4} + \frac{4}{5}}.
\)

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20:

\(
\frac{1}{4} = \frac{5}{20}, \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
b^{\frac{1}{4} + \frac{4}{5}} = b^{\frac{5 + 16}{20}} = b^{\frac{21}{20}}.
\)

Теперь запишем это в виде корня:

\(
b^{\frac{21}{20}} = \sqrt[20]{b^{21}}.
\)

Ответ: \(\sqrt[20]{b^9}\).

2) Рассмотрим следующее выражение:

\(
\sqrt[3]{c} \sqrt[7]{c^2}.
\)

Запишем это как:

\(
\sqrt[3]{c} = c^{\frac{1}{3}} \quad \text{и} \quad \sqrt[7]{c^2} = c^{\frac{2}{7}}.
\)

Теперь перемножим:

\(
c^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{2}{7}} = c^{\frac{1}{3} + \frac{2}{7}}.
\)

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 7 равен 21:

\(
\frac{1}{3} = \frac{7}{21}, \quad \frac{2}{7} = \frac{6}{21}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
c^{\frac{1}{3} + \frac{2}{7}} = c^{\frac{7 + 6}{21}} = c^{\frac{13}{21}}.
\)

Теперь запишем это в виде корня:

\(
c^{\frac{13}{21}} = \sqrt[21]{c^{13}}.
\)

Итак, также можем представить это как:

\(
c^{\frac{13}{21}} = \sqrt[7]{c^3}.
\)

Ответ: \(\sqrt[7]{c^3}\).

3) Рассмотрим следующее выражение:

\(
\sqrt[6]{a^2} \sqrt[5]{a^2}.
\)

Запишем это как:

\(
\sqrt[6]{a^2} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} \quad \text{и} \quad \sqrt[5]{a^2} = a^{\frac{2}{5}}.
\)

Теперь перемножим:

\(
a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{5}}.
\)

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15:

\(
\frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \quad \frac{2}{5} = \frac{6}{15}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{5}} = a^{\frac{5 + 6}{15}} = a^{\frac{11}{15}}.
\)

Теперь запишем это в виде корня:

\(
a^{\frac{11}{15}} = \sqrt[15]{a^{11}}.
\)

Также можем представить это как:

\(
a^{\frac{11}{15}} = \sqrt[5]{a^2}.
\)

Ответ: \(\sqrt[5]{a^2}\).