ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.188 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \(\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8};\)

2) \(\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}};\)

3) \(\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a — b};\)

4) \(\frac{m^{1.5} — n^{1.5}}{m + m^{0.5} n^{0.5} + n};\)

5) \(\frac{a — 2a^{0.5} b^{0.5} + b}{ab^{0.5} — a^{0.5} b};\)

6) \(\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1};\)

7) \(\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}};\)

8) \(\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}.\)

1)
\(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8} = \frac{x^{\frac{3}{7}} \left(x^{\frac{4}{7}} — 8\right)}{x^{\frac{4}{7}} — 8} = x^{\frac{3}{7}};
\)

2)
\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^6 + y^{\frac{2}{3}}} = \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}\left(y^6 + 1\right)} = \frac{5}{y^{-\frac{1}{6}} + 1};
\)

3)
\(
\frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a — b} = \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{\left(a^{0.5} — b^{0.5}\right)\left(a^{0.5} + b^{0.5}\right)} = \frac{1}{a^{0.5} — b^{0.5}} = \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}};
\)

4)
\(
\frac{m^{1.5} — n^{1.5}}{m + m^{0.5} n^{0.5} + n} = \frac{\left(m^{0.5} — n^{0.5}\right)\left(m + m^{0.5} n^{0.5} + n\right)}{m + m^{0.5} n^{0.5} + n} = m^{0.5} — n^{0.5} = \sqrt{m} — \sqrt{n};
\)

5)
\(
\frac{a — 2a^{0.5} b^{0.5} + b}{ab^{0.5} — a^{0.5} b} = \frac{\left(a^{0.5} — b^{0.5}\right)^2}{a^{0.5} b^{0.5} \left(a^{0.5} — b^{0.5}\right)} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}};
\)

6)
\(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1} = \frac{\left(2a^{\frac{1}{3}} + 1\right)\left(4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1\right)}{\left(2a^{\frac{1}{3}} + 1\right)\left(2a^{\frac{1}{3}} — 1\right)} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1};
\)

7)
\(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}} = \frac{x^{\frac{1}{4}} \left(x^{\frac{3}{8}} + 6\right)}{x^{\frac{1}{4}} \left(x^{\frac{3}{4}} — 36\right)} = \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{4}} — 36} = \frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6};
\)

8)
\(
\frac{2^{\frac{6}{5}} + 2^{\frac{5}{2}}}{5^{\frac{2}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} = 2^{-\frac{1}{5}};
\)

Сократить дробь:

1)
\(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
Распишем числитель:
\(
= \frac{x(1 — 8x^{-\frac{4}{7}})}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
Теперь заметим, что \(x^{\frac{4}{7}} — 8\) можно записать как \((x^{\frac{4}{7}} — 8)\):
\(
= \frac{x^{\frac{3}{7} }(x^{\frac{4}{7}} — 8)}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
Сокращаем:
\(
= x^{\frac{3}{7}};
\)

2)
\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^6 + y^{\frac{2}{3}}}
\)
Вынесем \(y^{\frac{2}{3}}\) из знаменателя:
\(
= \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{6 — \frac{2}{3}} + 1)}
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{5}{y^{6 — \frac{2}{3}} + 1}
\)
Заменим \(y^{6 — \frac{2}{3}}\) на \(y^{\frac{16}{3}}\):
\(
= \frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1};
\)

3)
\(
\frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a — b}
\)
Запишем знаменатель через разность квадратов:
\(
= \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\)
Сокращаем \(a^{0.5} + b^{0.5}\):
\(
= \frac{1}{a^{0.5} — b^{0.5}}
\)
Записываем в виде корней:
\(
= \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}};
\)

4)
\(
\frac{m^{1.5} — n^{1.5}}{m + m^{0.5} n^{0.5} + n}
\)
В числителе используем разность квадратов:
\(
= \frac{(m^{0.5} — n^{0.5})(m + m^{0.5} n^{0.5} + n)}{m + m^{0.5} n^{0.5} + n}
\)
Сокращаем:
\(
= m^{0.5} — n^{0.5}
\)
Записываем в виде корней:
\(
= \sqrt{m} — \sqrt{n};
\)

5)
\(
\frac{a — 2a^{0.5} b^{0.5} + b}{ab^{0.5} — a^{0.5} b}
\)
Числитель можно представить как полный квадрат:
\(
= \frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2}{ab^{0.5} — a^{0.5}b}
\)
В знаменателе вынесем общий множитель \(a^{0.5}b^{0.5}\):
\(
= \frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2}{a^{0.5}b^{0.5}(a^{0.5} — b^{0.5})}
\)
Сокращаем:
\(
= \frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{\sqrt{ab}};
\)

6)
\(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1}
\)
Числитель можно разложить:
\(
= \frac{(2a^{\frac{1}{3}})^2 + 1}{(2a^{\frac{1}{3}})^2 — 1}
\)
Используем формулу разности квадратов:
\(
= \frac{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(2a^{\frac{1}{3}} — 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(2a^{\frac{1}{3}} — 1)}
\)
Сокращаем:
\(
= \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1};
\)

7)
\(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}}
\)
Вынесем общий множитель \(x^{\frac{1}{4}}\) из числителя и знаменателя:
\(
= \frac{x^{\frac{1}{4}} \left(x^{\frac{3}{8}} + 6\right)}{x^{\frac{1}{4}} \left(x^{\frac{3}{4}} — 36\right)}
\)
Сокращаем:
\(
= \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{4}} — 36}
\)
Теперь знаменатель можно разложить как разность квадратов:
\(
= \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{(x^{\frac{3}{8}} — 6)(x^{\frac{3}{8}} + 6)}
\)
Сокращаем:
\(
= \frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6};
\)

8)
\(
\frac{2^{\frac{6}{5}} + 2^{\frac{5}{2}}}{5^{\frac{2}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}
\)
Запишем \(4^{\frac{1}{5}}\) как \((2^2)^{\frac{1}{5}}\):
\(
= \frac{2^{\frac{6}{5}} + 2^{2 \cdot \frac{5}{10}}}{5^{\frac{2}{5}} + (2^2)^{\frac{1}{5}}}
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{2^{\frac{6}{5}} + 2^{1 \cdot \frac{5}{10}}}{5^{\frac{2}{5}} + 2^{\frac{2}{5}}}
\)
Теперь можно вынести общий множитель \(2^{-\frac{1}{5}}\):
\(
= \frac{1}{2^{-\frac{1}{5}}};
\)
Таким образом, получаем:
\(
= 2^{-\frac{1}{5}};
\)