Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.189 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
1)
\(
\frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}};
\)
2)
\(
\frac{12}{5-\sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}} — \frac{1}{\sqrt{17}-4};
\)
3)
\(
\frac{1}{\sqrt{5}+1} + \frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13}+3} + \ldots + \frac{1}{5+\sqrt{21}}.
\)
Найти значение выражения:
1)
\(
\frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} + \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{3 — 2} + \frac{2 — \sqrt{3}}{4 — 3} =
\)
\(
= \sqrt{2} + 1 + \sqrt{3} — \sqrt{2} + 2 — \sqrt{3} = 3;
\)
Ответ: 3.
2)
\(
\frac{12}{5 — \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} — \frac{1}{\sqrt{17} — 4} =
\)
\(
= \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 — 13} + \frac{4(\sqrt{17} — \sqrt{13})}{17 — 13} — \frac{\sqrt{17} + 4}{17 — 16} =
\)
\(
= 5 + \sqrt{13} + \sqrt{17} — \sqrt{13} — \sqrt{17} — 4 = 1;
\)
Ответ: 1.
3)
\(
\frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + \cdots + \frac{1}{5 + \sqrt{21}} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{5} — 1}{5 — 1} + \frac{3 — \sqrt{5}}{9 — 5} + \frac{\sqrt{13} — 3}{13 — 9} + \cdots + \frac{5 — \sqrt{21}}{25 — 21} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{5} — 1}{4} + \frac{3 — \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} — 3}{4} + \cdots + \frac{5 — \sqrt{21}}{4} =
\)
\(
= \frac{-1 + 5}{4} = 1;
\)
Ответ: 1.
1) Найти значение выражения:
\(
\frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} =
\)
Рассмотрим каждую дробь отдельно и рационализируем знаменатель.
Первая дробь:
\(
\frac{1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 — 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} = \sqrt{2} + 1
\)
Вторая дробь:
\(
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 — (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{3 — 2} = \sqrt{3} — \sqrt{2}
\)
Третья дробь:
\(
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 — \sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} = \frac{2 — \sqrt{3}}{2^2 — (\sqrt{3})^2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4 — 3} = 2 — \sqrt{3}
\)
Теперь складываем полученные выражения:
\(
(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} — \sqrt{2}) + (2 — \sqrt{3}) = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{3} — \sqrt{2} + 2 — \sqrt{3} =
\)
\(
= 1 + 2 = 3
\)
Ответ: \(3\).
2) Найти значение выражения:
\(
\frac{12}{5 — \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} — \frac{1}{\sqrt{17} — 4} =
\)
Рационализируем каждую дробь.
Первая дробь:
\(
\frac{12}{5 — \sqrt{13}} \cdot \frac{5 + \sqrt{13}}{5 + \sqrt{13}} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 — 13} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{12} = 5 + \sqrt{13}
\)
Вторая дробь:
\(
\frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{17} — \sqrt{13}}{\sqrt{17} — \sqrt{13}} = \frac{4(\sqrt{17} — \sqrt{13})}{17 — 13} = \frac{4(\sqrt{17} — \sqrt{13})}{4} = \sqrt{17} — \sqrt{13}
\)
Третья дробь:
\(
\frac{1}{\sqrt{17} — 4} \cdot \frac{\sqrt{17} + 4}{\sqrt{17} + 4} = \frac{\sqrt{17} + 4}{17 — 16} = \sqrt{17} + 4
\)
Обратите внимание, что в исходном выражении третья дробь вычитается, значит:
\(
— \frac{1}{\sqrt{17} — 4} = — (\sqrt{17} + 4)
\)
Теперь складываем:
\(
(5 + \sqrt{13}) + (\sqrt{17} — \sqrt{13}) — (\sqrt{17} + 4) =
\)
\(
= 5 + \sqrt{13} + \sqrt{17} — \sqrt{13} — \sqrt{17} — 4 = 5 — 4 = 1
\)
Ответ: \(1\).
3) Найти значение выражения:
\(
\frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + \cdots + \frac{1}{5 + \sqrt{21}} =
\)
Рассмотрим общий вид каждого слагаемого. Каждое слагаемое рационализируем:
\(
\frac{1}{\sqrt{m} + n} \cdot \frac{\sqrt{m} — n}{\sqrt{m} — n} = \frac{\sqrt{m} — n}{m — n^2}
\)
В данном случае знаменатели имеют вид \(m — n^2 = 4\), так как:
— \(\sqrt{5} + 1\), \(5 — 1^2 = 5 — 1 = 4\)
— \(3 + \sqrt{5}\), \(9 — 5 = 4\)
— \(\sqrt{13} + 3\), \(13 — 9 = 4\)
— \(5 + \sqrt{21}\), \(25 — 21 = 4\)
Подставим:
\(
\frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}, \quad \frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 — \sqrt{5}}{4}, \quad \frac{1}{\sqrt{13} + 3} = \frac{\sqrt{13} — 3}{4}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{5 + \sqrt{21}} = \frac{5 — \sqrt{21}}{4}
\)
Сложим все слагаемые:
\(
\frac{\sqrt{5} — 1}{4} + \frac{3 — \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} — 3}{4} + \cdots + \frac{5 — \sqrt{21}}{4} = \frac{(\sqrt{5} — 1) + (3 — \sqrt{5}) + (\sqrt{13} — 3) + \cdots + (5 — \sqrt{21})}{4}
\)
В числителе происходит телескопическое сокращение: \(\sqrt{5}\) и \(-\sqrt{5}\), \(3\) и \(-3\), и так далее, остаются только первые и последние члены:
\(
= \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1
\)
Ответ: \(1\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.