Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что при любом целом значении \( n \) значение выражения \( n(n+1)(2n+1) \) кратно \( 6 \).
Доказать, что при любом целом \( n \):
\(
n(n+1)(2n+1) : 6;
\)
1) Если \( n = 0 \), тогда:
\(
0 \cdot (0+1) \cdot (2 \cdot 0 + 1) = 0;
\)
2) Если \( n = k + 1 \), тогда:
\(
(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1) =
\)
\(
= (k+1)(k+2)(2k+3) =
\)
\(
= k(k+1)(2k+3) + 2(k+1)(2k+3) =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) + 2k(k+1) + (2k+2)(2k+3) =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) + 2k^2 + 2k + 4k^2 + 6k + 4k + 6 =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) + 6k^2 + 12k + 6 =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) + 6(k^2 + 2k + 1);
\)
3) Если \( n = k — 1 \), тогда:
\(
(k-1)(k-1+1)(2(k-1)+1) =
\)
\(
= k(k-1)(2k-1) =
\)
\(
= k(2k-1)(k+1) — 2k(2k-1) =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) — 2k(k+1) — 2k(2k-1) =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) — 2k^2 — 2k — 4k^2 + 2k =
\)
\(
= k(k+1)(2k+1) — 6k^2;
\)
Что и требовалось доказать.
Докажем, что для любого целого \( n \) выражение \( n(n+1)(2n+1) \) делится на 6, то есть \( n(n+1)(2n+1) : 6 \).
1) База индукции: \( n = 0 \)
\(
n(n+1)(2n+1) = 0 \cdot (0+1) \cdot (2 \cdot 0 + 1) = 0
\)
0 делится на 6.
2) Шаг индукции: Пусть утверждение верно для \( n = k \), докажем для \( n = k+1 \)
Вычислим выражение для \( n = k+1 \):
\(
(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) = (k+1)(k+2)(2k+3)
\)
Раскроем скобки, чтобы выразить через \( k(k+1)(2k+1) \):
\(
(k+1)(k+2)(2k+3) = (k+1)(k+2) \cdot (2k+3)
\)
Распишем (k+2) как (k+1+1):
\(
= (k+1)((k+1)(2k+3) + 1 \cdot (2k+3))
\)
\(
= (k+1)(k+1)(2k+3) + (k+1)(2k+3)
\)
Но лучше раскрыть иначе:
\(
(k+1)(k+2)(2k+3) = (k+1)(k+2)(2k+3)
\)
Распишем (k+2)(2k+3):
\(
(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6
\)
Теперь умножаем на (k+1):
\(
(k+1)(2k^2 + 7k + 6) = (k+1) \cdot 2k^2 + (k+1) \cdot 7k + (k+1) \cdot 6
\)
\(
= 2k^3 + 2k^2 + 7k^2 + 7k + 6k + 6
\)
\(
= 2k^3 + (2k^2 + 7k^2) + (7k + 6k) + 6
\)
\(
= 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6
\)
Теперь рассмотрим разницу между этим выражением и выражением для k:
\(
k(k+1)(2k+1) = k(k+1)(2k+1)
\)
Раскроем:
\(
k(k+1)(2k+1) = k(k+1) \cdot 2k + k(k+1) \cdot 1 = 2k^2(k+1) + k(k+1)
\)
\(
= 2k^3 + 2k^2 + k^2 + k = 2k^3 + 3k^2 + k
\)
Теперь найдём разность:
\(
(k+1)(k+2)(2k+3) — k(k+1)(2k+1) =
\)
\(
= (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6) — (2k^3 + 3k^2 + k)
\)
\(
= (2k^3 — 2k^3) + (9k^2 — 3k^2) + (13k — k) + 6
\)
\(
= 6k^2 + 12k + 6
\)
\(
= 6(k^2 + 2k + 1)
\)
Таким образом,
\(
(k+1)(k+2)(2k+3) = k(k+1)(2k+1) + 6(k^2 + 2k + 1)
\)
Если \( k(k+1)(2k+1) \) делится на 6 (по предположению индукции), то и \( (k+1)(k+2)(2k+3) \) делится на 6, так как \( 6(k^2 + 2k + 1) \) очевидно делится на 6.
3) Проверка для отрицательных n: \( n = k-1 \)
Рассмотрим \( n = k-1 \):
\(
(k-1)k(2k-1)
\)
Попробуем выразить через \( k(k+1)(2k+1) \):
\(
k(k+1)(2k+1) = k(k+1)(2k+1)
\)
Рассмотрим разность:
\(
k(k+1)(2k+1) — (k-1)k(2k-1)
\)
Раскроем \( (k-1)k(2k-1) \):
\(
(k-1)k(2k-1) = k(k-1)(2k-1)
\)
Теперь раскроем скобки:
\(
k(k+1)(2k+1) = k(k+1)(2k+1)
\)
\(
= k(k+1) \cdot 2k + k(k+1) \cdot 1 = 2k^2(k+1) + k(k+1)
\)
\(
= 2k^3 + 2k^2 + k^2 + k = 2k^3 + 3k^2 + k
\)
\(
(k-1)k(2k-1) = (k-1)k \cdot 2k + (k-1)k \cdot (-1) = 2k(k-1)k — (k-1)k
\)
\(
= 2k^2(k-1) — k(k-1)
\)
\(
= 2k^3 — 2k^2 — k^2 + k = 2k^3 — 3k^2 + k
\)
Теперь разность:
\(
k(k+1)(2k+1) — (k-1)k(2k-1) = (2k^3 + 3k^2 + k) — (2k^3 — 3k^2 + k) =
\)
\(
= 6k^2
\)
То есть
\(
k(k+1)(2k+1) — (k-1)k(2k-1) = 6k^2
\)
Следовательно,
\(
(k-1)k(2k-1) = k(k+1)(2k+1) — 6k^2
\)
Если \( k(k+1)(2k+1) \) делится на 6, то \( (k-1)k(2k-1) \) также делится на 6, так как \( 6k^2 \) делится на 6.
Вывод:
Для любого целого \( n \) выражение \( n(n+1)(2n+1) \) делится на 6.
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.