ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.193 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \sqrt{a — 2 + 2\sqrt{a — 3}} \);

2) \( \sqrt{2x — 2\sqrt{x^2 — 4}} \), если \( x > 2 \);

3) \( \sqrt{2a — 4 + 2\sqrt{a^2 — 4a + 3}} — \sqrt{a — 1} \);

4) \( \frac{\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} — 1}{\sqrt{x + 2}} \).

1)
\(
\sqrt{a — 2 + 2\sqrt{a — 3}} = \sqrt{( \sqrt{a — 3} + 1 )^2} = |\sqrt{a — 3} + 1| = \sqrt{a — 3} + 1;
\)
Ответ: \(\sqrt{a — 3} + 1\).

2)
\(
\sqrt{2x — 2\sqrt{x^2 — 4}} = \sqrt{(x + 2) — 2\sqrt{(x + 2)(x — 2)} + (x — 2)} =
\)
\(
= \sqrt{(\sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2})^2} = \sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2}, \quad \text{если } x > 2;
\)
Ответ: \(\sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2}\).

3)
\(
\sqrt{2a — 4 + 2\sqrt{a^2 — 4a + 3} — \sqrt{a — 1}} =
\)
\(
= \sqrt{(a — 1) + 2\sqrt{(a — 1)(a — 3)} + (a — 3)} — \sqrt{a — 1} =
\)
\(
= \sqrt{(\sqrt{a — 1} + \sqrt{a — 3})^2} — \sqrt{a — 1} =
\)
\(
= \sqrt{a — 1} + \sqrt{a — 3} — \sqrt{a — 1} = \sqrt{a — 3};
\)
Ответ: \(\sqrt{a — 3}\).

4)
\(
\frac{\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} — 1}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{(x + 2) + 2\sqrt{x + 2} + 1} — 1}{\sqrt{x + 2}} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{(\sqrt{x + 2} + 1)^2} — 1}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{x + 2} + 1 — 1}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}} = 1;
\)
Ответ: 1.

Упростить выражение:

1)
Рассмотрим выражение:

\(
\sqrt{a — 2 + 2\sqrt{a — 3}}.
\)

Мы можем представить это как:

\(
\sqrt{( \sqrt{a — 3} + 1 )^2} = |\sqrt{a — 3} + 1|.
\)

Так как \( a \geq 3 \) (из условия \( a — 3 \geq 0 \)), то:

\(
|\sqrt{a — 3} + 1| = \sqrt{a — 3} + 1.
\)

Таким образом, получаем:

\(
\sqrt{a — 2 + 2\sqrt{a — 3}} = \sqrt{a — 3} + 1.
\)

Ответ: \(\sqrt{a — 3} + 1\).

2)
Рассмотрим выражение:

\(
\sqrt{2x — 2\sqrt{x^2 — 4}}.
\)

В данном случае можем записать:

\(
2x — 2\sqrt{x^2 — 4} = (x + 2) — 2\sqrt{(x + 2)(x — 2)} + (x — 2).
\)

Теперь мы имеем:

\(
= \sqrt{(\sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2})^2}.
\)

Так как \( x > 2 \), то:

\(
= \sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2}.
\)

Ответ: \(\sqrt{x + 2} — \sqrt{x — 2}\).

3)
Рассмотрим выражение:

\(
\sqrt{2a — 4 + 2\sqrt{a^2 — 4a + 3} — \sqrt{a — 1}}.
\)

Заметим, что \( a^2 — 4a + 3 = (a — 1)(a — 3) \), поэтому:

\(
= \sqrt{(a — 1) + 2\sqrt{(a — 1)(a — 3)} + (a — 3)} — \sqrt{a — 1}.
\)

Это можно представить как:

\(
= \sqrt{(\sqrt{a — 1} + \sqrt{a — 3})^2} — \sqrt{a — 1}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
= \sqrt{a — 1} + \sqrt{a — 3} — \sqrt{a — 1} = \sqrt{a — 3}.
\)

Ответ: \(\sqrt{a — 3}\).

4)
Рассмотрим выражение:

\(
\frac{\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} — 1}{\sqrt{x + 2}}.
\)

Запишем под корнем:

\(
= \frac{\sqrt{(x + 2) + 2\sqrt{x + 2} + 1} — 1}{\sqrt{x + 2}}.
\)

Это можно упростить до:

\(
= \frac{\sqrt{(\sqrt{x + 2} + 1)^2} — 1}{\sqrt{x + 2}}.
\)

Так как \( \sqrt{\cdot} \) и \( (\cdot)^2 \) взаимно обратны, получаем:

\(
= \frac{\sqrt{x + 2} + 1 — 1}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}} = 1.
\)

Ответ: \(1\).