ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.194 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b)} + \frac{2b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{ab}}{a — b};\)

2) \(a : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}}\right) + b : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}}\right);\)

3) \(\left(\frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} — \frac{\sqrt{1 + x}}{1 + \sqrt{x}}\right)^2 — \left(\frac{1 — \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} — \frac{\sqrt{1 + x}}{1 — \sqrt{x}}\right)^2;\)

4) \(\frac{\frac{x + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}}{\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{x + y} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x — y}} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}}.\)

1)
\(
\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b)} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{ab}}{a — b} =
\)
\(
= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b)} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{ab}}{a — b} =
\)
\(
= \frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{a — b} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)
\(
= \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1;
\)

2)
\(
a : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}}\right) + b : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}}\right) =
\)
\(
= \frac{2ab\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2ab\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{2ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 2ab;
\)

3)
\(
\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} + \sqrt{x}\right)^2 — \left(\frac{1 — \sqrt{x}}{\sqrt{1+x}} — \frac{\sqrt{1+x}}{1 — \sqrt{x}}\right)^2 =
\)
\(
= \left(\frac{1 + 2\sqrt{x} + x — (1 + x)}{\sqrt{1+x} \cdot (1 + \sqrt{x})}\right)^2 — \left(\frac{1 — 2\sqrt{x} + x — (1 + x)}{\sqrt{1+x} \cdot (1 — \sqrt{x})}\right)^2
\)

\(
= \left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+x} \cdot (1+\sqrt{x})}\right)^2 — \left(\frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{1+x} \cdot (1-\sqrt{x})}\right)^2 =
\)
\(
= \frac{4x}{(1+x)(1+\sqrt{x})^2} — \frac{4x}{(1+x)(1-\sqrt{x})^2} =
\)
\(
= \frac{4x}{1+x} \cdot \left(\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} — \frac{1}{(1-\sqrt{x})^2}\right) = \frac{4x}{1+x} \cdot \frac{(1-\sqrt{x})^2 — (1+\sqrt{x})^2}{(1+\sqrt{x})^2 (1-\sqrt{x})^2} =
\)
\(
= \frac{4x}{1+x} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{x} + x — 1 — 2\sqrt{x} — x}{(1 — x)^2} = \frac{4x \cdot (-4\sqrt{x})}{(1 — x^2)(1 — x)} = \frac{16x\sqrt{x}}{(1 — x^2)(x — 1)};
\)

4)
\(
\frac{x + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{(x + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) — (x — y)(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{(x + y)\sqrt{x} + (x + y)\sqrt{y} — (x — y)\sqrt{x} + (x — y)\sqrt{y}}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{(x + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (x — y)(-\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{(x + y)(2\sqrt{y}) + (x — y)(2\sqrt{x})}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x}}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)
\(
= \frac{(x + y) \cdot 2\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} = \frac{x + y}{2}.
\)

1)
\(
\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b)} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{ab}}{a — b} =
\)

Сначала упростим первое слагаемое:

\(
= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a — b)} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{ab}}{a — b} =
\)

Теперь упростим выражение в числителе:

\(
= \frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{a — b} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Следующий шаг:

\(
= \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Теперь упростим:

\(
= \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Теперь объединим дроби:

\(
= \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Упрощаем числитель:

\(
= \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1.
\)

2)
\(
a : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}}\right) + b : \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}}\right) =
\)

Запишем это в виде дроби:

\(
= \frac{2ab\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2ab\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Теперь объединим дроби:

\(
= \frac{2ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\)

Итак, получаем:

\(
= 2ab.
\)

3)
\(
\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} + \sqrt{x}\right)^2 — \left(\frac{1 — \sqrt{x}}{\sqrt{1+x}} — \frac{\sqrt{1+x}}{1 — \sqrt{x}}\right)^2 =
\)

Сначала упростим первое выражение:
\(
= \left(\frac{1 + 2\sqrt{x} + x — (1 + x)}{\sqrt{1+x} \cdot (1 + \sqrt{x})}\right)^2 — \left(\frac{1 — 2\sqrt{x} + x — (1 + x)}{\sqrt{1+x} \cdot (1 — \sqrt{x})}\right)^2
\)

Теперь упростим каждую из дробей:
\(
= \left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+x} \cdot (1+\sqrt{x})}\right)^2 — \left(\frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{1+x} \cdot (1-\sqrt{x})}\right)^2 =
\)

Теперь подставим в формулы:
\(
= \frac{4x}{(1+x)(1+\sqrt{x})^2} — \frac{4x}{(1+x)(1-\sqrt{x})^2} =
\)

Объединим дроби:
\(
= \frac{4x}{1+x} \cdot \left(\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} — \frac{1}{(1-\sqrt{x})^2}\right) =
\)

Теперь упростим разность дробей:
\(
= \frac{4x}{1+x} \cdot \frac{(1-\sqrt{x})^2 — (1+\sqrt{x})^2}{(1+\sqrt{x})^2 (1-\sqrt{x})^2} =
\)

Упростим числитель:
\(
= \frac{4x}{1+x} \cdot \frac{1 — 2\sqrt{x} + x — 1 — 2\sqrt{x} — x}{(1 — x)^2} =
\)

Теперь упростим окончательно:
\(
= \frac{4x \cdot (-4\sqrt{x})}{(1 — x^2)(1 — x)} = \frac{16x\sqrt{x}}{(1 — x^2)(x — 1)}.
\)

4)
\(
\frac{x + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Сначала упростим первую часть:
\(
= \frac{(x + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) — (x — y)(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Теперь упростим числитель:
\(
= \frac{(x + y)\sqrt{x} + (x + y)\sqrt{y} — (x — y)\sqrt{x} + (x — y)\sqrt{y}}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Сгруппируем термины:
\(
= \frac{(x + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (x — y)(-\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Теперь упростим дальше:
\(
= \frac{(x + y)(2\sqrt{y}) + (x — y)(2\sqrt{x})}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Объединим дроби:
\(
= \frac{2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x}}{x — y} \cdot \frac{y — \sqrt{xy} + x}{2\sqrt{xy}} =
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{(x + y) \cdot 2\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)} = \frac{x + y}{2}.
\)