ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.195 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения

\(
\left(\frac{15}{\sqrt{6}+1} + \frac{4}{\sqrt{6}-2} — \frac{12}{3-\sqrt{6}}\right) \cdot (\sqrt{6}+11).
\)

\(
\left(\frac{15}{\sqrt{6} + 1} + \frac{4}{\sqrt{6} — 2} — \frac{12}{3 — \sqrt{6}}\right) \cdot (\sqrt{6} + 11) =
\)
\(
= \left(\frac{15(\sqrt{6} — 1)}{6 — 1} + \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{6 — 4} — \frac{12(3 + \sqrt{6})}{9 — 6}\right)(\sqrt{6} + 11) =
\)
\(
= (3(\sqrt{6} — 1) + 2(\sqrt{6} + 2) — 4(3 + \sqrt{6}))(\sqrt{6} + 11) =
\)
\(
= (3\sqrt{6} — 3 + 2\sqrt{6} + 4 — 12 — 4\sqrt{6})(\sqrt{6} + 11) =
\)
\(
= (\sqrt{6} — 11)(\sqrt{6} + 11) = 6 — 121 = -115;
\)

Ответ: \(-115\).

Найти значение выражения:

\(
\left(\frac{15}{\sqrt{6} + 1} + \frac{4}{\sqrt{6} — 2} — \frac{12}{3 — \sqrt{6}}\right) \cdot (\sqrt{6} + 11) =
\)

Сначала упростим каждую дробь в выражении:

1. Упростим первую дробь:
\(
\frac{15}{\sqrt{6} + 1}
\)
умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
\(
= \frac{15(\sqrt{6} — 1)}{(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} — 1)} = \frac{15(\sqrt{6} — 1)}{6 — 1} = \frac{15(\sqrt{6} — 1)}{5} = 3(\sqrt{6} — 1).
\)

2. Упростим вторую дробь:
\(
\frac{4}{\sqrt{6} — 2}
\)
также умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
\(
= \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} — 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{6 — 4} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{2} = 2(\sqrt{6} + 2).
\)

3. Упростим третью дробь:
\(
\frac{12}{3 — \sqrt{6}}
\)
умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
\(
= \frac{12(3 + \sqrt{6})}{(3 — \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{9 — 6} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{3} = 4(3 + \sqrt{6}).
\)

Теперь подставим упрощенные дроби обратно в выражение:

\(
= \left(3(\sqrt{6} — 1) + 2(\sqrt{6} + 2) — 4(3 + \sqrt{6})\right)(\sqrt{6} + 11).
\)

Теперь упростим выражение в скобках:

\(
= (3\sqrt{6} — 3 + 2\sqrt{6} + 4 — 12 — 4\sqrt{6})(\sqrt{6} + 11).
\)

Соберем все подобные члены:

\(
= (3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} — 4\sqrt{6} — 3 + 4 — 12)(\sqrt{6} + 11) =
\)
\(
= (\sqrt{6} — 11)(\sqrt{6} + 11).
\)

Теперь используем формулу разности квадратов:

\(
= (\sqrt{6})^2 — (11)^2 = 6 — 121 = -115.
\)

Ответ: \(-115\).