ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.196 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения

\(
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}} — \frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3}.
\)

Найти значение выражения:

\(
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2} + 3}} — \frac{\sqrt{6} — 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1} — \frac{\sqrt{4} — 4\sqrt{2} + 2}{2\sqrt{2} — 3} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2} + 1\right)^2} — \frac{\sqrt{(2 — \sqrt{2})^2}}{2\sqrt{2} — 3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} — \frac{2 — \sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3} =
\)
\(
= \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2} — 3) — (2 — \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} — 3)} =
\)
\(
= \frac{3\sqrt{2} — 2\sqrt{2} — 2 + 2 + \sqrt{2}}{4 — 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} — 3} = \frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} = \frac{4(1 — \sqrt{2})}{1 — \sqrt{2}} = 4;
\)

Ответ: 4.

Найти значение выражения:

\(
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2} + 3}} — \frac{\sqrt{6} — 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3}.
\)

Сначала упростим каждую дробь в выражении.

1. Упростим первую дробь:
\(
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2} + 3}}.
\)
Заметим, что
\(
2\sqrt{2} + 3 = (\sqrt{2} + 1)^2.
\)
Таким образом,
\(
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2} + 3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}.
\)

2. Упростим вторую дробь:
\(
-\frac{\sqrt{6} — 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3}.
\)
Здесь можно заметить, что
\(
\sqrt{6} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{(2 — \sqrt{2})^2}.
\)
Таким образом,
\(
-\frac{\sqrt{6} — 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3} = -\frac{\sqrt{(2 — \sqrt{2})^2}}{2\sqrt{2} — 3} = -\frac{2 — \sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3}.
\)

Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
\(
= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} — \frac{2 — \sqrt{2}}{2\sqrt{2} — 3}.
\)

Теперь объединим дроби:
\(
= \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2} — 3) — (2 — \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} — 3)}.
\)

Теперь упростим числитель:
1. Раскроем скобки:
\(
= \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}) — 3\sqrt{2} — (2(\sqrt{2}) + 2 — \sqrt{2})}{(\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} — 3)}.
\)
Это равно:
\(
= \frac{3\sqrt{2} — 2\sqrt{2} — 2 + 2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} — 3)}.
\)

Теперь упростим числитель:
\(
= \frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}}.
\)

Теперь сократим:
\(
= \frac{4(1 — \sqrt{2})}{1 — \sqrt{2}} = 4.
\)

Ответ: \(4\).