ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.199 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
(4 + \sqrt{15})(\sqrt{10} — \sqrt{6})\sqrt{(4 — \sqrt{15})} = 2.
\)

Доказать равенство:

\(
(4 + \sqrt{15})(\sqrt{10} — \sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}} = 2;
\)
\(
(4\sqrt{10} — 4\sqrt{6} + 5\sqrt{6} — 3\sqrt{10}) \sqrt{4 — \sqrt{15}} = 2;
\)
\(
(\sqrt{10} + \sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}} = 2;
\)
\(
\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{4 — \sqrt{15}} = 2;
\)
\(
(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = 2;
\)
\(
(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{5 — 2\sqrt{15} + 3} = 2;
\)
\(
(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \left(\sqrt{5} — \sqrt{3}\right) = 2;
\)
\(
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) = 2; \quad 5 — 3 = 2;
\)

Равенство доказано.

Доказать равенство:

\(
(4 + \sqrt{15})(\sqrt{10} — \sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}} = 2.
\)

Сначала раскроем скобки в левой части:

\(
= (4\sqrt{10} — 4\sqrt{6} + \sqrt{15}\sqrt{10} — \sqrt{15}\sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}}.
\)

Теперь упростим выражение:

\(
= (4\sqrt{10} — 4\sqrt{6} + \sqrt{150} — \sqrt{90}) \sqrt{4 — \sqrt{15}}.
\)

Теперь заметим, что \(\sqrt{150} = 5\sqrt{6}\) и \(\sqrt{90} = 3\sqrt{10}\):

\(
= (4\sqrt{10} — 4\sqrt{6} + 5\sqrt{6} — 3\sqrt{10}) \sqrt{4 — \sqrt{15}}.
\)

Соберем похожие слагаемые:

\(
= (4\sqrt{10} — 3\sqrt{10} + (5 — 4)\sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}}.
\)

Это будет:

\(
= (\sqrt{10} + \sqrt{6}) \sqrt{4 — \sqrt{15}}.
\)

Теперь мы можем выразить \(4 — \sqrt{15}\) как \(2(\sqrt{2} — \frac{\sqrt{15}}{2})\):

\(
= (\sqrt{10} + \sqrt{6}) \cdot \sqrt{2(\sqrt{2} — \frac{\sqrt{15}}{2})}.
\)

Извлечем корень из 2:

\(
= \sqrt{2}(\sqrt{10} + \sqrt{6}) \cdot \sqrt{\sqrt{2} — \frac{\sqrt{15}}{2}}.
\)

Теперь у нас есть:

\(
= \sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{8 — 2\sqrt{15}}}{2}}.
\)

Упрощаем это выражение:

\(
= (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{8 — 2\sqrt{15}}.
\)

Теперь упростим \(8 — 2\sqrt{15}\):

\(
= (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5 — 2\sqrt{15} + 3}.
\)

Теперь мы можем записать это как:

\(
= (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) = 2.
\)

Итак, окончательный шаг:

\(
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) = 5 — 3 = 2.
\)

Равенство доказано.